虛數(shù)的概念
虛數(shù)的單位I最早是由歐拉引出的,他取imaginary（想像的、假想的）一詞的詞頭作為虛數(shù)單位,I＝√-1,于是一切虛數(shù)都具有bi的形式.但虛數(shù)的確定要歸功于18世紀兩位業(yè)余數(shù)學(xué)家,一位是挪威的測繪員威賽爾,另一位是巴黎的會計師阿爾干.
要追溯出現(xiàn)的軌跡,就要聯(lián)系與它相對實數(shù)的出現(xiàn)過程.我們知道,實數(shù)是與虛數(shù)相對應(yīng)的,它包括有理數(shù)和無理數(shù),也就是說它是實實在在存在的數(shù).
有理數(shù)出現(xiàn)的非常早,它是伴隨人們的生產(chǎn)實踐而產(chǎn)生的.
無理數(shù)的發(fā)現(xiàn),應(yīng)該歸功于古希臘畢達哥拉斯學(xué)派.無理數(shù)的出現(xiàn),與德謨克利特的“原子論”發(fā)生矛盾.根據(jù)這一理論,任何兩個線段的比,不過是它們所含原子數(shù)目的經(jīng).而勾股定理卻說明了存在著不可通約的線段.
不可通約線段的存在,使古希臘的數(shù)學(xué)家感到左右為難,因為他們的學(xué)說中只有整數(shù)和分數(shù)的概念,他們不能完全表示正方形對角線與邊長的比,也就是說,在他們那里,正方形對角線與連長的比不能用任何“數(shù)”來表示.西亞他們已經(jīng)發(fā)同了無理數(shù)這個問題,但是卻又讓它從自己的身邊悄悄溜走了,甚至到了希臘最偉大的代數(shù)學(xué)家丟番圖那里,方程的無理數(shù)解仍然被稱為是“不可能的”.
無理數(shù)的確定與開方運算息息相關(guān).對于那些非完全平方數(shù),人們發(fā)現(xiàn)它們的平方根是可以無限制地求到任意多位的無限不循環(huán)小數(shù).（像π＝3.141592625…,E=2.71828182…等）,稱為無理數(shù).
但是當無理數(shù)的位置確定后,人們又發(fā)現(xiàn)即使使用全部的有理數(shù)和無是數(shù),也不能長度解決代數(shù)方程的求解問題.像x 2+1=0這樣最簡單的二次方程,在褸范圍內(nèi)沒有解.12世紀的印度大數(shù)學(xué)家婆什伽羅都認為這個方程是沒有解的.他認為正數(shù)的平方是正數(shù),負數(shù)的平方也是正數(shù),因此,一個正數(shù)的平方根是兩重的；一個正數(shù)和一個負數(shù),負數(shù)沒有平方根,因此負數(shù)不是平方數(shù).這等于不承認方程的負根的存在.
到了16世紀,卡爾達諾的＜大衍術(shù)＞第一次大膽使用了負數(shù)平方根的概念.如果不使用負數(shù)平方根,就是可能決四次方程的求解問題.雖然他寫出院負數(shù)的平方根,但他卻猶豫不次,他不得不聲明,這個表達式是虛構(gòu)的,想像的,并么一次稱它為”虛數(shù)”但是數(shù)學(xué)家們使用它時,還是非常小心謹慎,就連著名的數(shù)學(xué)家歐拉在使用虛數(shù)時也不得不給自己的論文加上一個評語.一切形如√-1,√-2的數(shù)學(xué)式,都是不可能有的、想像的數(shù),因為它們所表示的是負數(shù)的平方根.對于這類數(shù),我們只能斷言,它們既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么.它們線性虛幻.雖然大師的這段話讀起來有些拗口,但從中可以看出他他和虛數(shù)時也不那么理直氣壯.
可是虛數(shù)的出現(xiàn),卻幫了無理數(shù)的大忙,無理數(shù)和有理數(shù)相比,底氣顯得有些不足,但是在虛數(shù)面前,它和有理數(shù)一樣,都是實實在在的數(shù)所以數(shù)學(xué)家才把它同有理數(shù)合稱為實數(shù),這樣就可以和虛數(shù)區(qū)別開來.有趣的是,虛數(shù)也非常頑強,它就如同實數(shù)在鏡子里的映像一樣,不僅同實數(shù)形影不離,而且還常常同實數(shù)結(jié)合起來,構(gòu)成復(fù)數(shù).
虛數(shù),人們開始稱之為“實數(shù)的鬼魂”,1637年笛卡兒稱為“想像中的數(shù)”,于是一切虛數(shù)都具有BI,而復(fù)數(shù)則具有a=bi,這里a和b都是實數(shù).虛數(shù)也常稱為純虛數(shù).
從卡爾達諾的＜大衍術(shù)＞開始,在200年的時間里,虛數(shù)一直披著一層神秘莫測、不可思議的面紗,到了1797年,威賽爾給出了虛線的圖像表示,才確立了虛數(shù)的合理地位.他和阿爾干一起借助于17世紀法國數(shù)學(xué)家笛卡兒建立的平面坐標系,給復(fù)數(shù)做了一是到數(shù)學(xué)界認要的幾何解釋.后來,高斯使直角坐標平面上的點和復(fù)數(shù)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系,虛數(shù)才廣為人知.