所謂勾股數(shù),就是當組成一個直角三角形的三邊長都為正整數(shù)時,我們就稱這一組數(shù)為勾股數(shù).
　　那么,組成一組勾股數(shù)的三個正整數(shù)之間,是否具有一定的規(guī)律可尋呢?下面我們一起來觀察幾組勾股數(shù)：
　　規(guī)律一：在勾股數(shù)（3,4,5）、（5,12,13）、（7,24,25）（9,40,41）中,我們發(fā)現(xiàn)
　　由（3,4,5）有：32=9=4+5
　　由（5,12,13）有：52=25=12+13
　　由（7,24,25）有：72=49=24+25
　　由（9,40,41）有：92=81=40+41.
　　即在一組勾股數(shù)中,當最小邊為奇數(shù)時,它的平方剛好等于另外兩個連續(xù)的正整數(shù)之和.因此,我們把它推廣到一般,從而可得出以下公式：
　　∵（2n+1）2=4n2+4n+1=（2n2+2n）+（2n2+2n+1）
　　∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2（n為正整數(shù)）
　　證明（略）
　　勾股數(shù)公式一：（2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1）（n為正整數(shù)）
　　規(guī)律二：在勾股數(shù)（6,8,10）、（8,15,17）、（10,24,26）中,我們發(fā)現(xiàn)
　　由（6,8,10）有：62=36+2×（8+10）
　　由（8,15,17）有：82=64=2×（15+17）
　　由（10,24,26）有：102=100=2×（24+26）
　　即在一組勾股數(shù)中,當最小邊為偶數(shù)時,它的平方剛好等于兩個連續(xù)整數(shù)之和的二倍,推廣到一般,從而可得出另一公式：
　　∵（2n）2=4n2=2[（n2-1）+（n2+1）]
　　∴（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2（n≥2且n為正整數(shù)）
　　證明（略）
　　勾股數(shù)公式二：（2n,n2-1,n2+1）（n≥2且n為正整數(shù)）
　　利用以上兩個公式,我們可以快速寫出各組勾股數(shù).