初中理解的函數(shù)和高中理解的函數(shù)在概念是一樣的,都是從實(shí)數(shù)集的子集通過某個(gè)函數(shù)映射到實(shí)數(shù)集的子集,只是映射的函數(shù)不同.初中學(xué)的無非是線性函數(shù)和二次函數(shù),學(xué)的無非也就是求最值；高中就會(huì)有很多,有指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等等,而且次數(shù)也會(huì)更高,甚至函數(shù)可以看成是無窮次多項(xiàng)式（展開成冪級(jí)數(shù)）,這時(shí)研究他們就會(huì)用求導(dǎo)的方法,研究單調(diào)性,略微加一些可導(dǎo)性和連續(xù)性,研究的稍微多樣一些.
大學(xué)所學(xué)的函數(shù),那就相當(dāng)有深度了.定義域是復(fù)數(shù)域,值域是復(fù)數(shù)域,這門學(xué)科叫復(fù)變函數(shù)；定義域是概率空間,值域?yàn)椋煞郑〣anach空間（實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域就是可分Banach空間,數(shù)學(xué)專業(yè)高年級(jí)的概率論會(huì)研究抽象函數(shù),低年級(jí)的概率論值域?yàn)閷?shí)數(shù)域）,這門學(xué)科叫概率論；定義域?yàn)楹瘮?shù)空間,值域?yàn)閺?fù)數(shù)域,這門學(xué)科叫泛函分析.概念上仍然同初、高中差不多,但是因?yàn)檠芯康募峡梢詮臄?shù)域擴(kuò)充到很抽象的空間,如Lebesgue函數(shù)空間、Lp空間,李群、以及其他可測(cè)空間,再加上很多新的工具,比如微分工具、級(jí)數(shù)理論等等,再比如通過商空間,定義函數(shù)類,把幾乎處處相等的函數(shù)看成一個(gè)函數(shù)（就像把奇數(shù)看成1,偶數(shù) 看成0,進(jìn)行同余運(yùn)算）,很多很多擴(kuò)展,會(huì)誕生出很多很有意思也很難的學(xué)科.但是從概念看,只是把定義域與值域做了推廣而已；從技巧上看,會(huì)用到大量的工具,有分析的、也有代數(shù)的.
因此你可以看出,集合論是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),而函數(shù)不是.記得奧賽老師給我們培訓(xùn)的時(shí)候就說過,實(shí)話告訴你們,集合才是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).當(dāng)時(shí)我不信.后來一直學(xué)啊一直學(xué),才發(fā)現(xiàn)集合的重要性.數(shù)學(xué)研究也一直在研究集合的結(jié)構(gòu)、集合的推廣.
如果有懸賞就多給些,我沒財(cái)富了,有個(gè)問題要提,看在我打這么多字的份上,多給些吧.