這個應當從映射分析.
存在反函數(shù)的函數(shù),定義域到值域是1-1對應或者叫雙射.定義域和值域分別為D,B,若對于x1,x2∈D,x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B.那么就叫做1-1對應或雙射【注意,這里的集合已經(jīng)壓縮到定義域和值域了,滿射就能保證了】.這樣的映射關系,存在一個逆映射,即存在反函數(shù).
若函數(shù)是單調(diào)的,無論是增還是減,都能保證x1,x2∈D,x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B,因此單調(diào)函數(shù)存在反函數(shù).
但是反過來：x1,x2∈D,x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B,能不能推出對于所有的x∈D,存在x1＞x2,f(x1)＞f(x2),或f(x1)＜f(x2)其中一個呢?不能了.已知x1≠x2,只能確定地得到f(x1)≠f(x2),至于大小關系是無法確定的.
函數(shù)單調(diào)性是存在反函數(shù)的充分非必要條件.