切比雪夫（Chebyshev）不等式 對于任一隨機(jī)變量X ,若EX與DX均存在,則對任意ε＞0,恒有P{|X-EX|>=ε}=ε} 越小,P{|X-EX|=ε}的一個(gè)上界,該上界并不涉及隨機(jī)變量X的具體概率分布,而只與其方差DX和ε有關(guān),因此,切比雪夫不等式在理論和實(shí)際中都有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用.需要指出的是,雖然切比雪夫不等式應(yīng)用廣泛,但在一個(gè)具體問題中,由它給出的概率上界通常比較保守.切比雪夫不等式是指在任何數(shù)據(jù)集中,與平均數(shù)超過K倍標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)占的比例至多是1/K^2.在概率論中,切比雪夫不等式顯示了隨機(jī)變數(shù)的「幾乎所有」值都會(huì)「接近」平均.這個(gè)不等式以數(shù)量化這方式來描述,究竟「幾乎所有」是多少,「接近」又有多接近：與平均相差2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值,數(shù)目不多於1/4 與平均相差3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值,數(shù)目不多於1/9 與平均相差4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值,數(shù)目不多於1/16 …… 與平均相差k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值,數(shù)目不多於1/K^2 舉例說,若一班有36個(gè)學(xué)生,而在一次考試中,平均分是80分,標(biāo)準(zhǔn)差是10分,我們便可得出結(jié)論：少於50分（與平均相差3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差以上）的人,數(shù)目不多於4個(gè)（=36*1/9）.
測度論說法
設(shè)(X,∑,μ)為一測度空間,f為定義在X上的廣義實(shí)值可測函數(shù).對於任意實(shí)數(shù)t > 0,一般而言,若g是非負(fù)廣義實(shí)值可測函數(shù),在f的定義域非降,則有 上面的陳述,可透過以|f|取代f,再取如下定義而得：
概率論說法
設(shè)X為隨機(jī)變數(shù),期望值為μ,方差為σ2.對於任何實(shí)數(shù)k>0,改進(jìn) 一般而言,切比雪夫不等式給出的上界已無法改進(jìn).考慮下面例子：這個(gè)分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ = 1 / k,μ = 0.當(dāng)只求其中一邊的值的時(shí)候,有Cantelli不等式：[1]
證明
定義,設(shè)為集的指標(biāo)函數(shù),有 又可從馬爾可夫不等式直接證明：馬氏不等式說明對任意隨機(jī)變數(shù)Y和正數(shù)a有\(zhòng)Pr(|Y| \le \opeatorname{E}(|Y|)/a.取Y = (X − μ)2及a = (kσ)2.亦可從概率論的原理和定義開始證明：
參見
馬爾可夫不等式 弱大數(shù)定律