設(shè)X服從N(0,1),我們計算D(X^2),即證明 D(卡方(1))=2
(1)用平方關(guān)系來算,D(X^2)=E(X^4)-[E(X^2)]^2
得先算 E(X^4)
設(shè)f(x)是N (0,1)的密度函數(shù),求 E(X^4),
∫x^4*f(x)dx=∫x^3 *xf(x)dx ,因為xf(x)的原函數(shù)恰是 -f(x)
分部積分∫x^3 *xf(x)dx=-x^3*f(x)+∫f(x)*3x^2dx=-x^3*f(x)+3∫x^2f(x)dx
再次使用分部積分,所以∫x^2f(x)dx=∫x* xf(x)dx=-xf(x)+∫f(x)dx
綜合得到∫x^4*f(x)dx=-x^3*f(x)+3[-xf(x)+∫f(x)dx]=-x^3*f(x)-3xf(x)+3∫f(x)dx
所以代入上下限,得到∫x^4*f(x)dx=3
因為E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=1
所以D(X^2)=E(X^4)-[E(X^2)]^2=3-1=2