證：因?yàn)槌齛1和an外,a2,a3,……,a(n-1)中的任何一個(gè)都是他相鄰兩數(shù)的調(diào)和平均數(shù),所以1/a1,1/a2,1/a3···1/an是個(gè)等差數(shù)列
設(shè)a1,a2,a3···an的最小公倍數(shù)為x,1/a1,1/a2,1/a3···1/an可以寫(xiě)為b1/x,b2/x,b3/x···bn/x（b1,b2,b3···bn是個(gè)等差數(shù)列,公差為d）,
不妨設(shè)an是原數(shù)列中最小的,即b1,b2···bn是遞增的
因?yàn)閎n - bn-1 =d,所以他們的最大公約數(shù)<=d,所以他們的最小公倍數(shù)>=
bn*bn-1/d,因?yàn)閤能被bn和bn-1整除,所以x>=bn*bn-1 /d
因?yàn)?/an=bn/x,所以an= x/bn >= bn-1 /d
因?yàn)閎n-1=b1+(n-2)d,所以bn-1 /d>(n-2)d/d=n-2
所以an=bn-1 /d >=n-1
得證
我自認(rèn)為寫(xiě)得蠻清楚了,LL,可以給分了吧