例1 某單位買甲、乙兩種鋼筆共100支,已知甲鋼筆每支3元,乙鋼筆每支2元,且甲、乙兩種鋼筆所用錢數(shù)一樣多.求甲、乙兩種鋼筆各買了多少支.
分析與解 我們前面已談到,當(dāng)某種商品單價(jià)一定時(shí),所花錢總數(shù)與商品數(shù)量成正比,而本題中,所花錢總數(shù)（對(duì)于甲、乙兩種鋼筆來(lái)說(shuō)）相同,則購(gòu)物數(shù)量與單價(jià)成反比.
　　因?yàn)榧?、乙兩種鋼筆單價(jià)之比為3∶2,而它們所用總錢數(shù)相同,則由購(gòu)物數(shù)量與單價(jià)成反比可知：甲、乙兩種鋼筆的數(shù)量之比為2∶3,所以甲鋼筆有：
　　
　　乙鋼筆有 100—40=60支.
例2 解放前夕,中國(guó)人民解放軍在數(shù)量上已占有優(yōu)勢(shì),與國(guó)民黨軍隊(duì)人數(shù)之比為3∶2,以毛澤東為首的中國(guó)共產(chǎn)黨人又發(fā)動(dòng)強(qiáng)大的政治攻勢(shì),瓦解了10萬(wàn)國(guó)民黨軍隊(duì)的軍心,并促其投誠(chéng),這樣,中國(guó)人民解放軍與國(guó)民黨軍隊(duì)在數(shù)量上的比值由3∶2增強(qiáng)到2∶1.求中國(guó)人民解放軍人數(shù).
分析與解 設(shè)中國(guó)人民解放軍人數(shù)為3份,國(guó)民黨軍隊(duì)人數(shù)為2份,則有：

　　所以,中國(guó)人民解放軍總?cè)藬?shù)30萬(wàn)×3=90萬(wàn),加上投誠(chéng)過(guò)來(lái)的10萬(wàn),共有100萬(wàn)軍隊(duì),這就是百萬(wàn)雄師渡長(zhǎng)江的基礎(chǔ),這就是中國(guó)革命取得最終勝利的基礎(chǔ).
例3 如圖1,甲、乙、丙三個(gè)齒輪咬合,當(dāng)甲輪轉(zhuǎn)4圈時(shí),乙輪恰好轉(zhuǎn)3圈；當(dāng)乙輪轉(zhuǎn)4圈時(shí),兩輪恰好轉(zhuǎn)5圈.求這三個(gè)齒輪的齒數(shù)最少應(yīng)分別是多少?

分析與解 為書(shū)寫(xiě)及敘述簡(jiǎn)便,我們用甲來(lái)表示甲的齒輪齒數(shù),其余類同.
　　由已知：甲∶乙=3∶4（這是因?yàn)閮蓚€(gè)互相咬合的齒輪,齒數(shù)與轉(zhuǎn)數(shù)成反比例關(guān)系）,類似地,乙∶丙=5∶4.
　　這兩個(gè)單比中,乙所占的份額分別是4和5,這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是20,利用比例的基本性質(zhì),將這兩個(gè)比變形為：
　　甲∶乙=15∶20；乙∶丙=20∶16
　　將這兩個(gè)單比寫(xiě)成連比的形式,就有：
　　甲∶乙∶丙=15∶20∶16
　　由于15, 20,16這3個(gè)數(shù)互質(zhì),且齒數(shù)必須為自然數(shù),所以甲、乙、丙三個(gè)齒輪的齒數(shù)應(yīng)最少分別為15,20,16.
例4 如圖2,甲、乙二人繞一個(gè)長(zhǎng)方形操場(chǎng)跑步.該操場(chǎng)長(zhǎng)160米,寬120米,甲從A,乙從B相向而跑.結(jié)果第一次在E處相遇,E距A處60米,相遇后,甲、乙二人繼續(xù)跑.
　　問(wèn)甲、乙二人能否在E處再次相遇?若相遇,這是甲、乙的第幾次相遇?

分析與解 由圖知：BE=100米,這說(shuō)明乙的速度比甲快,甲乙速度之比為3∶5.
　　假設(shè)能夠再次在E處相遇,則此時(shí),甲、乙都又跑了整數(shù)圈,由于時(shí)間相同,路程與速度成正比,所以甲、乙所跑路程（也就是圈數(shù)）與速度成正比,即：甲、乙所跑圈數(shù)為3∶5.只需甲跑3圈,乙跑5圈,二人恰好在E處再次相遇.
　　因?yàn)榧?、乙相遇一?就相當(dāng)于合起來(lái)共跑了一圈,所以甲、乙共跑了（3+5=）8圈.所以從E處出發(fā)后,甲、乙兩人共相遇了8次,這說(shuō)明最后在E點(diǎn)相遇是甲、乙的第九次相遇（包括第一次在E點(diǎn)相遇）.
　　行程問(wèn)題的關(guān)鍵在于抓住路程、速度、時(shí)間三者中哪一個(gè)是不變的,從而另二者相應(yīng)成正比或成反比.
一、\x09生產(chǎn)隊(duì)飼養(yǎng)的雞與豬的只數(shù)比為26：5,羊與馬的只數(shù)比為25：9,豬與馬的只數(shù)比為10：3.求雞、豬、馬和羊的只數(shù)比.
由題設(shè)
雞：豬＝26：5,羊：馬＝25：9,豬：馬＝10：3
由比的基本性質(zhì)可得：
豬：馬＝10：3＝30：9
羊：馬＝25：9
雞：豬＝26：5＝156：30
從而　雞：豬：馬：羊＝156：30：9：25
答：雞、豬、馬、羊的只數(shù)比為156：30：9：25.
二、\x09下列各題中的兩個(gè)量是否成比例?若成比例,請(qǐng)說(shuō)明成正比例還是成反比例.
（1）\x09路程一定時(shí),速度與時(shí)間
（2）\x09速度一定時(shí),路程與時(shí)間
（3）\x09播種面積一定時(shí),總產(chǎn)量與單位面積的產(chǎn)量；
（4）\x09圓的面積與該圓的半徑；
（5）\x09兩個(gè)相互嚙合的大小齒輪,它們的轉(zhuǎn)速與齒數(shù).
（1）由于速度與時(shí)間的乘積等于路程,所以,當(dāng)路程一定時(shí),速度與時(shí)間成反比例.
（2）由于路程與時(shí)間的比值為速度,所以,當(dāng)速度一定時(shí),路程與時(shí)間成正比例.
（3）由于總產(chǎn)量與單位面積的產(chǎn)量的比值為播種面積,所以,當(dāng)播種面積一定時(shí),總產(chǎn)量與單位面積的產(chǎn)量成正比例.
（4）設(shè)圓的半徑為R,則圓的面積為πR2,所以圓的面積與半徑的積為πR3,隨半徑的變化而變化,即圓的面積與半徑不成反比例；而圓的面積與半徑的比值為πR,也隨半徑的變化而變化,即圓的面積與半徑不成正比例.綜上,圓的面積與半徑不成比例.
（5）由于齒輪的轉(zhuǎn)速與的積等于單位時(shí)間內(nèi)齒輪轉(zhuǎn)過(guò)的總齒數(shù),而兩個(gè)相互咬合的大小齒輪在單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的總齒數(shù)相等,所以,他們的轉(zhuǎn)速與齒數(shù)成反比例.
三、\x09某小學(xué)共有學(xué)生697人,已知低年級(jí)學(xué)生數(shù)的 等于中年級(jí)學(xué)生數(shù)的 ,低年級(jí)學(xué)生數(shù)的 等于高年級(jí)學(xué)生數(shù)的 ,求該校低、中、高年級(jí)各有多少名學(xué)生?
設(shè)低年級(jí)的學(xué)生數(shù)為“1”,則中年級(jí)學(xué)生數(shù)為 ,高年級(jí)的學(xué)生數(shù)為 ,從而,低、中、高年級(jí)的學(xué)生數(shù)的比為：低：中：高＝1： ： ＝12：15：14,
按比例分配得,低年級(jí)學(xué)生數(shù)： ＝204（人）,
中年級(jí)學(xué)生數(shù)： ＝255（人）,
高年級(jí)學(xué)生數(shù)： ＝238（人）,
答：該校低、中、高年級(jí)的學(xué)生數(shù)分別為204人、255人、238人.
四、\x09雛鷹小分隊(duì)為“希望工種”搞了一次募捐活動(dòng).她們用募捐所得的錢購(gòu)買了甲、乙、丙三種商品,這三種商品的單價(jià)分別為30元、15元、和10元.已知購(gòu)得的甲商品與乙商品的數(shù)量之比為5：6,乙商品與丙商品的數(shù)量之比為4：11,且購(gòu)買丙商品比購(gòu)買甲商品多花了210元,求這次募捐所得的錢數(shù).
已知：甲商品數(shù)：乙商品數(shù)＝5：6
　　　　　乙商品數(shù)：丙商品數(shù)＝4：11
于是,甲商品數(shù)：乙商品數(shù)：丙商品數(shù)＝10：12：33,
即甲、乙、丙商品分別有10份、12份、33份.
由于購(gòu)買丙商品比購(gòu)買甲商品多花210元,所以,每份的商品數(shù)為210÷（10×33-30×10）＝7（件）.
于是,甲商品數(shù)為：7×10＝70（件）,
　　　乙商品數(shù)為：7×12＝84（件）,
　　　丙商品數(shù)為：7×33＝231（件）.
由此,募捐所得到的錢數(shù)為：
30×70+15×84+10×231＝5670（元）.
答：募捐所得到的錢為5670元.
五、\x09A、B、C是三個(gè)順次咬合的齒輪.當(dāng)A轉(zhuǎn)4圈時(shí),B恰好轉(zhuǎn)3圈；當(dāng)B轉(zhuǎn)4圈時(shí),C恰好轉(zhuǎn)5圈.問(wèn)這三個(gè)齒輪的齒數(shù)的最小數(shù)分別是多少?
由題設(shè)知,A轉(zhuǎn)：B轉(zhuǎn)＝4：3,B轉(zhuǎn)：C轉(zhuǎn)＝4：5,
于是,A轉(zhuǎn)：B轉(zhuǎn)：C轉(zhuǎn)＝16：12：15,
從而,A齒：B齒：C齒＝ ＝15：20：16.
由于15,20,16三數(shù)互質(zhì),且齒輪的齒數(shù)必為自然數(shù),所以A、B、C的齒數(shù)最小分別為15,20,16齒.
答：這三個(gè)齒輪的齒數(shù)最小數(shù)分別為12,20,16齒.
六、\x09某高速公路收費(fèi)站對(duì)過(guò)往車輛收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：大客車30元,中巴車15元,其他車10元.某日通過(guò)該收費(fèi)站的大客車和中巴車的數(shù)量之比為5：6,中巴車與其他車（不含大客車）的數(shù)量之比為4：11,收取標(biāo)準(zhǔn)為10元的其他車的通行費(fèi)比大客車多270元.問(wèn)：這天通過(guò)該收費(fèi)站的大客車、中巴車及其他車各有多少輛?這天的總收入為多少元?
由題設(shè),大客：中巴＝5：6,中巴：其他＝4：11,故大客：中巴：其他＝10：12：33,于是
270÷（10×33-30×10）＝9.
因而大客車有9×10＝90（輛）,中巴車有9×12＝108（輛）,其他車有9×23＝297（輛）.由此,這天收入有30×90+15×108+10×297＝7290（元）.
答：這天通過(guò)該收費(fèi)站的大客車、中巴車及其他車分別有90輛、108輛、297輛.這天的總收入為7290元.