你可以這么看,動能和勢能都是能量的一種,就像你說的那樣,動能可以看作由于外力作用于物體做功導(dǎo)致該物體速度的增加而具有動能,動能顯然應(yīng)該等于外力所作的功.
同樣彈簧的彈性勢能也是由于外力作用于彈簧的一端做功導(dǎo)致彈簧變形而具有彈性勢能,同樣彈簧的彈性勢能也應(yīng)等于外力所作的功.
我們知道外力做的功等于外力作用點在外力作用下移動的距離,仔細(xì)觀察一下,上述兩種現(xiàn)象的異同點表現(xiàn)如下：
a、作為增加動能的例子,我們可以舉兩種,一種是在一個恒定力作用下,該物體從速度為零增加到v,這時,加速度為
a = F/m,
我們就知道了需要的時間為
t= v/a = mv/F,
由于加速度不變,平均速度顯然是
Vp = (0 + v)/2 = v/2,
因此外力的作用點移動的距離,也就是物體移動的距離等于
l = mv/F * v/2 = (1/2)mv^2 /F
外力做的功為：
E = F * L = (1/2)mv^2 (注：^2表示平方)
這種情況相信你也能推導(dǎo)
增加動能的第二例子,我們可以選一個變化的外力,我們可以假定這個力與物體移動的距離滿足下式,方向指向l0所在位置,亦即
F = k(l-l0),建立以I0為原點的坐標(biāo)系,則上式表達(dá)為：
F = -kx
這個力顯然是的物體從原來的起點-l0點向坐標(biāo)原點運動,并在坐標(biāo)原點達(dá)到最大v,過l0點后開始減速,從零點運動到l0點,外力沿移動方向上的平均值為：
Fp = kl0 /2
變化的外力所做的功,也就是物體獲得的動能應(yīng)該是
E = Fp * l0 = (1/2)kl0^2
我們可以得到每一位置的加速度為：
a = F/m = -(k/m)x
我們計算l0,也就是計算需要多長距離可以加速到v呢?這個計算起來比較復(fù)雜,注意到dl/dt = v,a = dv/dt有
x'' = -(k/m)x,x''代表x對t的二階導(dǎo)數(shù).
最終可以計算出(邊界條件t=0,x=-l0)
x(t) = -l0 * cos(((k/m)^(1/2))t)
過原點的時間是π/(2(k/m)^(1/2))
求導(dǎo)計算出速度公式
v =l0 * (k/m)^(1/2)sin(((k/m)^(1/2))t)
v(t=0) = l0 * (k/m)^(1/2),
得到
k = mv^2 /l0^2
代入上面的獲得動能計算公式得到：
E = (1/2)kl^2 = (1/2)mv^2 /l0^2 * l^2 = (1/2)mv^2
由此可以得到
E= (1/2)mv^2
b、作為增加彈性勢能的例子,教科書上有推導(dǎo),類似于a的第二種情形.也就是
平均彈力為最終彈力的一半
增加的彈性勢能為
E = (1/2)kx^2
綜合a,b,我們似乎看不到什么結(jié)論,但是從數(shù)學(xué)角度上看,我們都用到了一個線性函數(shù)y=kx下邊圍的面積為題,這實際上是一個積分問題,在線性函數(shù)這種特例下轉(zhuǎn)換為了平均值乘以區(qū)間長度,線性函數(shù)在區(qū)間的一個端點（原點）為零,另一個端點達(dá)到最大kx,平均值恰巧是1/2kx,因此就有了 S = （1/2）kx * x = (1/2) kx^2,彈力的是這樣,物體的動能也是這樣.另外a中的第二種情況世紀(jì)的物理意義時一根無質(zhì)量的彈簧可移動的端點掛上一個質(zhì)量為m的質(zhì)點,代表了質(zhì)點的動能和彈簧的勢能的轉(zhuǎn)換.