1.公式法：
等差數(shù)列求和公式:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比數(shù)列求和公式：
Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
2.錯(cuò)位相減法
適用題型：適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式 { an }、{ bn }分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)
3.倒序相加法
這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序）,再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n個(gè)(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+.+an Sn =an+ a(n-1)+a(n-3).+a1 上下相加 得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2
4.分組法
有一類(lèi)數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi),可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可.例如：an=2^n+n-1
5.裂項(xiàng)法
適用于分式形式的通項(xiàng)公式,把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng).常用公式：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
[例] 求數(shù)列an=1/n(n+1) 的前n項(xiàng)和.
an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂項(xiàng)）
則Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項(xiàng)求和）＝ 1-1/(n+1)＝ n/(n+1)
小結(jié)：此類(lèi)變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后,其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了.只剩下有限的幾項(xiàng).注意：余下的項(xiàng)具有如下的特點(diǎn) 1余下的項(xiàng)前后的位置前后是對(duì)稱的.2余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的.
6.數(shù)學(xué)歸納法
一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,有如下步驟：
（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n的第一個(gè)值,k為自然數(shù)）時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.
例：求證：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5 證明：當(dāng)n=1時(shí),有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1) = 2×3×4×5×6/5 假設(shè)命題在n=k時(shí)成立,于是：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 則當(dāng)n=k+1時(shí)有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1) = [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5 即n=k+1時(shí)原等式仍然成立,歸納得證
7.通項(xiàng)化歸
先將通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡(jiǎn),再進(jìn)行求和.如：求數(shù)列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,……的前n項(xiàng)和.此時(shí)先將an求出,再利用分組等方法求和.
8.并項(xiàng)求和：
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n （并項(xiàng)）
求出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和,再相減.