國(guó)內(nèi)的教科書(shū)直接定義 i 等于 -1 的平方根
這個(gè)只能是讓人更加迷茫.
復(fù)數(shù)是定義在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上的:
復(fù)數(shù)就是有序的實(shí)數(shù)對(duì) (a, b),然后在上面定義加法和乘法,使其組成域
復(fù)數(shù)的加法: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
復(fù)數(shù)的乘法: (a, b) * (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
定義 i = (0, 1)
i * i = -1 其實(shí)就是
(0, 1) * (0, 1) = (0*0 - 1*1, 0*1 + 1*0) = (-1, 0)
定義復(fù)數(shù)域的一個(gè)子集 X = { (x, 0) | x為所有實(shí)數(shù) }
X也是一個(gè)域
在X和R之間建立一個(gè)一一映射 令復(fù)數(shù)(x, 0) 對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù) x, 則X和R同構(gòu)
因此實(shí)數(shù)域R與復(fù)數(shù)域的一個(gè)子域X同構(gòu),也就是說(shuō)R和X是一個(gè)東西(從代數(shù)的角度來(lái)看)
所以 i * i = (-1, 0) 對(duì)應(yīng)R的 -1
也就是 i * i = -1