大多數(shù)人最為熟悉的數(shù)有兩種,即正數(shù)（＋5,
＋17．5）和負(fù)數(shù)（－5,－17．5）.負(fù)數(shù)是在中世
紀(jì)出現(xiàn)的,它用來處理3－5這類問題.從古代人看來,要
從三個蘋果中減去五個蘋果似乎是不可能的.但是,中世紀(jì)
的商人卻已經(jīng)清楚地認(rèn)識到欠款的概念.“請你給我五個蘋
果,可是我只有三個蘋果的錢,這樣我還欠你兩個蘋果的錢.”
這就等于說：（＋3）－（＋5）＝（－2）.
　　正數(shù)及負(fù)數(shù)可以根據(jù)某些嚴(yán)格的規(guī)則彼此相乘.正數(shù)乘
正數(shù),其乘積為正.正數(shù)乘負(fù)數(shù),其乘積為負(fù).最重要的是,
負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù),其乘積為正.
　　因此,（＋1）×（＋1）＝（＋1）；
（＋1）×（－1）＝（－1）；
（－1）×（－1）＝（＋1）.
　　現(xiàn)在假定我們自問：什么數(shù)自乘將會得出＋1?或者用
數(shù)學(xué)語言來說,＋1的平方根是多少?
　　這一問題有兩個答案.一個答案是＋1,因為（＋1）
×（＋1）＝（＋1）；另一個答案則是－1,因為（－1）
×（－1）＝（＋1）.數(shù)學(xué)家是用√￣（＋1）＝±1來
表示這一答案的.（碧聲注：（＋1）在根號下）
　　現(xiàn)在讓我們進(jìn)一步提出這樣一個問題：－1的平方根是
多少?
　　對于這個問題,我們感到有點為難.答案不是＋1,因
為＋1的自乘是＋1；答案也不是－1,因為－1的自乘同
樣是＋1.當(dāng)然,（＋1）×（－1）＝（－1）,但這是
兩個不同的數(shù)的相乘,而不是一個數(shù)的自乘.
　　這樣,我們可以創(chuàng)造出一個數(shù),并給它一個專門的符號,
譬如說＃1,而且給它以如下的定義：＃1是自乘時會得出
－1的數(shù),即（＃1）×（＃1）＝（－1）.當(dāng)這種想法
剛提出來時,數(shù)學(xué)家都把這種數(shù)稱為“虛數(shù)”,這只是因為
這種數(shù)在他們所習(xí)慣的數(shù)系中并不存在.實際上,這種數(shù)一
點也不比普通的“實數(shù)”更為虛幻.這種所謂“虛數(shù)”具有
一些嚴(yán)格限定的屬性,而且和一般實數(shù)一樣,也很容易處理.
　　但是,正因為數(shù)學(xué)家感到這種數(shù)多少有點虛幻,所以給
這種數(shù)一個專門的符號“i”(imaginary).我們可以把正
虛數(shù)寫為（＋i）,把負(fù)虛數(shù)寫為（－i）,而把＋1看作
是一個正實數(shù),把（－1）看作是一個負(fù)實數(shù).因此我們可
以說√￣（－1）＝±i.
　　實數(shù)系統(tǒng)可以完全和虛數(shù)系統(tǒng)對應(yīng).正如有＋5,
－17．32,＋3／10等實數(shù)一樣,我們也可以有
＋5i,－17．32i,＋3i／10等虛數(shù).
　　我們甚至還可以在作圖時把虛數(shù)系統(tǒng)畫出來.
　　假如你用一條以0點作為中點的直線來表示一個正實數(shù)
系統(tǒng),那么,位于0點某一側(cè)的是正實數(shù),位于0點另一側(cè)
的就是負(fù)實數(shù).
　　這樣,當(dāng)你通過0點再作一條與該直線直角相交的直線
時,你便可以沿第二條直線把虛數(shù)系統(tǒng)表示出來.第二條直
線上0點的一側(cè)的數(shù)是正虛數(shù),0點另一側(cè)的數(shù)是負(fù)虛數(shù).
這樣一來,同時使用這兩種數(shù)系,就可以在這個平面上把所
有的數(shù)都表示出來.例如（＋2）＋（＋3i）或
（＋3）＋（－2i）.這些數(shù)就是“復(fù)數(shù)”.
　　數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家發(fā)現(xiàn),把一個平面上的所有各點同數(shù)
字系統(tǒng)彼此聯(lián)系起來是非常有用的.如果沒有所謂虛數(shù),他
們就無法做到這一點了.