用向量方法求空間角和距離
空間角和距離是最基本的兩個(gè)幾何量,空間圖形中各元素的位置關(guān)系都可以用這兩個(gè)幾何量來定量地描述,因此,有關(guān)空間角和距離的計(jì)算,是立體幾何的一類重要問題,是歷年來高考考查的重點(diǎn),本文運(yùn)用向量方法簡捷地解決這些方法.
一． 求空間角問題
1． 求異面直線的夾角
設(shè) 分別為異面直線 的方向向量,則由向量的數(shù)量積可知,異面直線 的夾角由 得出.
【例1】 在三棱錐 中, ,
① 證明：
② 求異面直線 .（2002年高考題）
解析：① 由題意得：
故：
③ 由

【例2】 如圖,在正方體 中, 的中點(diǎn), 分別是面 , 的中心,求異面直線
解析： 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,取正方體的棱長為2,
則
由
故,即
2． 求二面角
如圖,設(shè) 是二面角 的兩個(gè)半平面的一個(gè)法向量,其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè),另一個(gè)指向外側(cè),法向量 的夾角為 ,就是二面角 的平面角： 據(jù)此,只要求得二面角兩個(gè)半平面的異側(cè)法向量,即可得到二面角的平面角.要注意調(diào)整好向量的方向,使其夾角為二面角的平面角.
【例3】 如圖,四棱錐 的底面是邊長為 的正方形,
,證明無論四棱錐的高怎樣變化,面
與面 所成的二面角恒大于 .
解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,設(shè) ,依題意有：
,設(shè) 是面 的一個(gè)法
向量,則 即 令
得 ,設(shè) 是面 的一個(gè)法向量,則 即
令 ,得 ,由得 即無論四棱錐的高怎樣變化,面 與面 所成的二面角 恒大于 .
【例4】 如圖,在底面是直角梯形的四棱錐 中, , 求面 .
解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,則 ,
,設(shè) 是面 的一個(gè)法向量,則
即 令 得 ,
又知 是面 的一個(gè)法向量,
所以 .
【例5】 在四棱錐 中,底面 是矩形, ,且
平面 能否垂直?說明之.
解析：由 ,得
設(shè)平面 的法向量 ,則
即 ,所以
又 ,即 ,所以：
所以： 所以 所以：
,設(shè)平面 的法向量為： ,則
,同理得： ,所以 ,
故平面 不可能垂直.
【例6】 如圖,底面是等腰直角三角形的直三棱柱 , , 為上的點(diǎn),且 ,求二面角 的大小.
解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,設(shè) 則：
,設(shè) 為平面 的一個(gè)
法向量,則 即 令 得 ,易知平面 的一個(gè)法向量為 ,所以 ,由圖可知：二面角
為： .
【點(diǎn)拔】 二面角問題通過法向量的引入,使復(fù)雜的添加輔助線不必進(jìn)行,解題一下子變得輕松易懂.
3．求線面角
如圖,設(shè) 是平面 的斜線, 是 的一個(gè)法向量, 是垂足,則向量 上的射影長為：
, 與平面 的夾角 滿足： 即
或： ,據(jù)此,只須求得平面 的一個(gè)法向量 及向量 或 ,即可求
得斜線 與平面 的夾角 .
【例7】如圖,正三棱柱 的底面邊長為 ,側(cè)棱長為 ,求 與側(cè)面 所成的角.
解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,則
,取 的中點(diǎn) ,連結(jié) ,由
得 ,故.由
得： ,故：
所成角為 .
【例8】 如圖,在直三棱柱 中, , 求 與
側(cè)面 所成角的正弦值.
解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,設(shè)
則 由得：
,故: .
設(shè) 是面 的一個(gè)法向量,則即 令得 又 所以 與面 所成角 的正弦為：

二． 求空間距離問題
1． 求點(diǎn)線距離
如圖,求得向量 在向量 上的射影長為 ,則點(diǎn) 到直線 的距離為 .
【例9】 設(shè) 為矩形 所在平面外的一點(diǎn),直線求點(diǎn) 到直線 的距離.
解析：如圖,因?yàn)?
所以 上的射影長為 故 到直線 的距離為：

2． 求點(diǎn)面距離
如圖所示,設(shè) 則 外一點(diǎn) 到平面 的距離,就是向量
上的射影長度,即 到平面 的距離為： ,據(jù)此,只須求得平面 的一個(gè)法向量 與向量 ,即可得點(diǎn) 到 的距離.

【例10】 已知 為平面 的一條斜線, 為平面 的一個(gè)法
向量,求證： 到平面 的距離為： .
證明：因?yàn)?,所以 到平面 的距離為：

【例11】 如圖,在棱長為 的正方體 中, 分別是 的中點(diǎn),求點(diǎn)到截面 的距離.
解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,則 ,
, ,設(shè) 為面 的一個(gè)
法向量,則 即 令 得 ,又 ,所以點(diǎn)
到截面 的距離為
【點(diǎn)拔】對于線面距離、面面距離、可能通過轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離來求解,所以點(diǎn)面距離的向量求法可以加以推廣,進(jìn)會(huì)合理運(yùn)用.
【例12】 如圖,已知 是邊長為 的正方形, 分別為 的中點(diǎn), 垂直于 所在平面 ,且 ,求：點(diǎn) 到平面 的距離.
解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,則
,設(shè) 是平面
的一個(gè)法向量, 即 令 得
所以向量 在 上的射影長為
3． 求異面直線距離
【例13】 已知異面直線 , 的公垂線段, 分別為 上的任意一點(diǎn), 為的一個(gè)方向向量,求證：
解析：因?yàn)?,所以

由 ,得所以：故：
所以：
【例14】 如圖,在正方體 中,棱長為為 的中點(diǎn),求異面直線的距離.
解析： 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,則
,設(shè) 為 公垂線上一個(gè)方向向量,
即 令 得
又 ,所以異面直線的距離 .
【點(diǎn)拔】在上面的解法中,我們避免了繁鎖的輔助線,而代之以簡單的坐標(biāo)運(yùn)算,降低了思維難度,簡單易解.
【例15】在四棱錐 中,底面是邊長為 的正方形,側(cè)棱
分別為棱 的中點(diǎn),求異面直線
解析： 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,則
,設(shè) 為 的公垂
線的一個(gè)方向向量,則 即 令 得 ,故：
異面直線 .
【總結(jié)】通過上面的一些例子,我們可以看到向量在解決空間角和距離方面的作用,當(dāng)然,以上所舉的一些例子,用傳統(tǒng)方法去做,也是可行的,甚至有的還較為簡單,用向量的好處在于克服傳統(tǒng)立幾以純幾何方式解決問題帶來的高度的技巧性和隨機(jī)性,為解決空間問題指出一條新的路子.