f(x)為定義在(-a,a)的函數(shù).證明:f(x)一定可表示為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和.

數(shù)學(xué)人氣：142 ℃時間：2019-09-29 00:49:24

優(yōu)質(zhì)解答

令f(x)=g(x)+h(x)
假設(shè)g(x)是奇函數(shù),h(x)是偶函數(shù)
下面證明這兩個函數(shù)一定存在
f(x)=g(x)+h(x) (1)
f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x) (2)
(1)+(2)
2h(x)=f(x)+f(-x)
h(x)=[f(x)+f(-x)]/2
g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對稱
則只要x在定義域內(nèi),則-x也在定義域內(nèi)
所以f(x)和f(-x)都有意義
所以g(x)和h(x)一定存在
所以f(x)可表示為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和