第一步：要討論能量隨質(zhì)量變化,先要從量綱得知思路：
能量量綱[E]=[M]([L]^2)([T]^(-2)),即能量量綱等于質(zhì)量量綱和長度量綱的平方以及時(shí)間量綱的負(fù)二次方三者乘積.
我們需要把能量對于質(zhì)量的函數(shù)形式化簡到最簡,那么就要求能量函數(shù)中除了質(zhì)量,最好只有一個(gè)其它的變量.
把([L]^2)([T]^(-2))化簡,可以得到只有一個(gè)量綱-速度[V_]的形式：
[V_]*[V_].
也就是[E]=[M][V_]*[V_]
可見我們要討論質(zhì)能關(guān)系,最簡單的途徑是從速度v_下手.
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第二步：先要考慮能量的變化
與能量的變化有關(guān)的有各種能量形式的轉(zhuǎn)化,其中直接和質(zhì)量有關(guān)的只有做功.
那么先來考慮做工對于能量變化的影響.
當(dāng)外力F_(后面加_表示矢量,不加表示標(biāo)量)作用在靜止質(zhì)量為m0的質(zhì)點(diǎn)上時(shí),每產(chǎn)生ds_（位移s_的微分）的位移,物體能量增加
dE=F_*ds_(*表示點(diǎn)乘).
考慮最簡化的 外力與位移方向相同的情況,上式變成
dE=Fds
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第三步：怎樣把力做功和速度v變化聯(lián)系起來呢?也就是說怎樣來通過力的作用效果來得出速度的變化呢?
我們知道力對物體的沖量等于物體動(dòng)量的增量.那么,通過動(dòng)量定理,力和能量就聯(lián)系起來了：
F_dt=dP_=mdv_
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第四步：上式中顯然還要參考m質(zhì)量這個(gè)變量,而我們不想讓質(zhì)量的加入把我們力和速度的關(guān)系復(fù)雜化.我們想找到一種辦法約掉m,這樣就能得到純粹的速度和力的關(guān)系.
參考dE=Fds和F_dt=dP_,我們知道,v_=ds_/dt
那么可以得到
dE=v_*dP_
如果考慮最簡單的形式：當(dāng)速度改變和動(dòng)量改變方向相同：
dE=vdP
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第五步：把上式化成能量和質(zhì)量以及速度三者的關(guān)系式（因?yàn)槲覀冏畛蹙褪且懻撨@個(gè)形式）：
dE=vd(mv)----因?yàn)閐P=d(mv)
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第六步：把上式按照微分乘法分解
dE=v^2dm+mvdv
這個(gè)式子說明：能量的增量含有質(zhì)量因速度增加而增加dm產(chǎn)生的能量增量和單純速度增加產(chǎn)生的能量增量2個(gè)部分.（這個(gè)觀點(diǎn)非常重要,在相對論之前,人們雖然在理論物理推導(dǎo)中認(rèn)識(shí)到質(zhì)量增加也會(huì)產(chǎn)生能量增量,但是都習(xí)慣性認(rèn)為質(zhì)量不會(huì)隨運(yùn)動(dòng)速度增加而變化,也就是誤以為dm恒定為0,這是經(jīng)典物理學(xué)的最大錯(cuò)誤之一.）
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第七步：我們不知道質(zhì)量隨速度增加產(chǎn)生的增量dm是怎樣的,現(xiàn)在要研究它到底如何隨速度增加（也就是質(zhì)量增量dm和速度增量dv之間的直接關(guān)系）：
根據(jù)洛侖茲變換推導(dǎo)出的靜止質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)質(zhì)量公式：
m=m0[1-(v^2/c^2)]^(-1/2)
化簡成整數(shù)次冪形式：
m^2=(m0^2)[1-(v^2/c^2)]
化成沒有分母而且m和m0分別處于等號兩側(cè)的形式（這樣就是得到運(yùn)動(dòng)質(zhì)量m對于速度變化和靜止質(zhì)量的純粹的函數(shù)形式）：
(m^2)(c^2-v^2)=(m0^2)c^2
用上式對速度v求導(dǎo)得到dm/dv（之所以要這樣做,就是要找到質(zhì)量增量dm和速度增量dv之間最直接的關(guān)系,我們這一步的根本目的就是這個(gè)）：
d[(m^2)(c^2-v^2)]/dv=d[(m0^2)c^2]/dv(注意式子等號右邊是常數(shù)的求導(dǎo),結(jié)果為0)
即
[d(m^2)/dv](c^2-v^2)+m^2[d(c^2-v^2)/dv]=0
即
[m(dm/dv)+m(dm/dv)](c^2-v^2)+(m^2)[0-2v]=0
即
2m(dm/dv)(c^2-v^2)-2vm^2=0
約掉公因式2m(肯定不是0,運(yùn)動(dòng)質(zhì)量為0?沒聽說過)
得到：
(dm/dv)(c^2-V^2)-mv=0
即
(dm/dv)(c^2-V^2)=mv
由于dv不等于0（我們研究的就是非靜止的情況,運(yùn)動(dòng)系速度對于靜止系的增量當(dāng)然不為0）
(c^2-v^2)dm=mvdv
這就是我們最終得到的dm和dv的直接關(guān)系.
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第八步：有了dm的函數(shù),代回到我們第六步的能量增量式
dE=v^2dm+mvdv
=v^2dm+(c^2-v^2)dm
=c^2dm
這就是質(zhì)能關(guān)系式的微分形式,它說明：質(zhì)量的增量與能量的增量成正比,而且比例系數(shù)是常數(shù)c^2.
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最后一步：推論出物體從靜止到運(yùn)動(dòng)速度為v的過程中,總的能量增量：
對上一步的結(jié)論進(jìn)行積分,積分區(qū)間取質(zhì)量從靜止質(zhì)量m0到運(yùn)動(dòng)質(zhì)量m,得到
∫dE=∫[m0~m]c^2dm
即
E=mc^2-m0c^2
這就是 物體從靜止到運(yùn)動(dòng)速度為v的過程中,總的能量增量.
其中
E0=m0c^2稱為物體靜止時(shí)候的靜止能量.
Ev=mc^2稱為物體運(yùn)動(dòng)時(shí)候的總動(dòng)能（運(yùn)動(dòng)總能量）.
總結(jié)：對于任何已知運(yùn)動(dòng)質(zhì)量為m的物體,可以用E=mc^2直接計(jì)算出它的運(yùn)動(dòng)動(dòng)能.