r(A,B)>=r(A+B)
r(A,B)>=r(B)>=r(AB)
r(AB)與r(A+B)沒有直接關(guān)系.
第一個不等式,將矩陣寫成列向量形式[a1,a2,...,an,b1,b2...,bn]和[a1+b1,a2+b2,...,an+bn]
明顯看到后面矩陣n個向量中的每個向量都是前面矩陣2n個向量的線性組合,就是后邊矩陣的列向量組可以被前邊矩陣的列向量組線性表出.
由線性表出關(guān)系可知,前邊向量組的基大于后邊向量組的基.向量組的基就是矩陣的列向量構(gòu)成的基,也就是矩陣的列秩等于矩陣的秩.得證.
第二個不等式,前半部分同上.后半部分,AB寫成[a1,a2,...,an]B,那么根據(jù)矩陣乘法AB的每一列都是[a1,a2,...,an]的線性組合,都能夠被其表出.又同上.
證法2：前半部分同上顯然.后半部分Bx=0的解x都使得ABx=0,因此根據(jù)線性方程組解的性質(zhì)
n-r(B)=r(AB).
第三個沒關(guān)系的反例：當A=0,B可逆時r(AB)=0,r(A+B)=n.當A=-B可逆時,r(AB)=n,r(A+B)=0.由此可見,大小不定.