（1）∵A（0,4）,B（3,4）,
∴AB⊥y軸,AB=3．
∵RP⊥y軸,
∴∠OPR=∠OAB=90°．
又∠POR=∠AOB,
∴△OPR∽△OAB,
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{PR}{AB}$．
當t=1時,AP=1,OP=3,
∴$\frac{3}{4}=\frac{PR}{3}$,
∴$PR=\frac{9}{4}$．
∵R的縱坐標等于OP的長,
∴點R的坐標為（$\frac{9}{4}$,3）．
（2）如圖,過點B作BD⊥x軸于點D,則D（3,0）
在△BOC中,
∵OD=DC=3,且BD⊥OC,
∴OB=BC．
∵△OPR∽△OAB,
∴$\frac{OR}{OB}=\frac{OP}{OA}$,
∵在Rt△OBD中,$OB=\sqrt{O{D^2}+B{D^2}}=5$
∴$\frac{OR}{5}=\frac{4-t}{4}$,
∴$OR=\frac{20-5t}{4}$．
由題意得,AP=t,CQ=2t（0≤t≤4）．
分三種情況討論：
①當0≤t＜3時,即點Q從點C運動到點O（不與O重合）時,
∵OB=BC
∴∠BOC=∠BCO＞∠BCA
∵AB∥x軸,
∴∠BOC=∠ABO,∠BAC=∠ACO,
∵∠ABO＜ABC,∠BCO＞∠ACO,
∴∠BOC＜ABC,∠BOC＞∠BAC,
∴當0≤t＜3時,△ORQ與△ABC不可能相似．
②當t=3時,點Q與O重合時,△ORQ變成線段OR,故不可能與△ABC相似．
③如圖,當3＜t≤4時,即點Q從原點O向左運動時,
∵BD∥y軸
∴∠AOB=∠OBD
∵OB=BC,BD⊥OC
∴∠OBD=∠DBC
∴∠QOR=90°+∠AOB=90°+∠DBC=∠ABC9
當$\frac{OQ}{OR}=\frac{AB}{BC}$時,
∵OQ=2t-6,
∴$\frac{2t-6}{{\frac{20-5t}{4}}}=\frac{3}{5}$,
∴$t=\frac{36}{11}$．
當$\frac{OQ}{OR}=\frac{BC}{AB}$時,
同理可求得$t=\frac{172}{49}$．
經(jīng)檢驗$t=\frac{36}{11}$和$t=\frac{172}{49}$均在3＜t≤4內(nèi),
∴所有滿足要求的t的值為$\frac{36}{11}$和$\frac{172}{49}$．