費馬點的小論文
費馬(Pierre de Fermat,1601-1665)是一位律師和法國政府的公務(wù)員,他利用閑暇的時間研究數(shù)學(xué),他從未發(fā)表他的研究發(fā)現(xiàn),但是他幾乎與同時代的所有歐洲的大數(shù)學(xué)家保持通信.曾經(jīng),費馬是歐洲所有數(shù)學(xué)研究進展之交換中心.
費馬點的定義
費馬點,就是平面上到三角形三頂點距離之和最小的點.
當(dāng)三角形有一個內(nèi)角大于或等于一百二十度的時候,費馬點就是這個內(nèi)角的頂點；如果三個內(nèi)角都在120度以內(nèi),那么,費馬點就是使得費馬點與三角形三頂點的連線兩兩夾角為120度的點.
費馬點的證明
證明一
Part1當(dāng)有一個內(nèi)角大于等于120度時候
對三角形內(nèi)任一點P
延長BA至C'使得AC=AC',做∠C'AP'=∠CAP,并且使得AP'=AP,PC'=PC,（說了這么多,其實就是把三角形APC以A為中心做了個旋轉(zhuǎn)）
則△APC≌△AP'C'
∵∠BAC≥120°
∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP'中,AP≥PP'
∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC
所以A是費馬點
Part2當(dāng)所有內(nèi)角都小于120°時
做出△ABC內(nèi)一點P,使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°,分別作PA,PB,PC的垂線,交于D,E,F三點,如圖,再作任一異于P的點P',連結(jié)P'A,P'B,P'C,過P'作P'H垂直EF于H
易知∠D=∠E=∠F=60°,即△DEF為等邊三角形,計邊長為d,面積為S
則有2S=d(PA+PB+PC)
∵P'A≥P'H
所以2S△EP'F≤P'A×d
同理有
2S△DP'F≤P'B×d
2S△EP'D≤P'C×d
相加得2S≤d(P'A+P'B+P'C)
即PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C,當(dāng)且僅當(dāng)P,P'重合時取到等號
所以P是費馬點
證明二
如右圖所示,⊿ABE、⊿ACH、⊿BCG均為等邊三角形,連接AG、CE、BH,CE與AB相交于F,則：
∵⊿AEC≌⊿ABH,
∴∠1=∠2,∴⊿BFP∽⊿EFA ,∠3 =∠4=60°
在PE上取點D ,使得 ⊿DBP為正三角形
則⊿ABP≌⊿EBD,得 AP=ED
∴PA+PB+PC=DE+PD+PC=CE
費馬點的應(yīng)用
(1)一條河寬1km,兩岸各有一座城市A與B,A與B的直線距離是4km,今須鋪設(shè)一條電纜連A與B,已知地下電纜修建費用為2萬元/km,水下電纜為4萬元/km,假定河兩岸是直線,問應(yīng)如何架設(shè)電纜方可使總施工費用達到最小?
(2)有四個點位于一個正方形的四個頂點上,須用線將它們連成一個網(wǎng)絡(luò)(即從任何一點出發(fā),可沿此網(wǎng)絡(luò)中的線達到別的點),問此網(wǎng)絡(luò)應(yīng)以什么方式連接這四個點,方可使所用的線總長最小?