1、存在性：由拉格朗日中值定理,存在ξ(x)∈(0,x)(x>0)[ξ(x)∈(x,0)(x<0)]使f(x)-f(0)=(x-0)f'(ξ(x))
令ξ(x)=xθ(x),可知θ(x)∈(0,1)滿足條件,所以說存在θ(x)∈(0,1)使f(x)=f(0)+x f'(xθ(x))成立,存在性獲證
2、唯一性,假如說存在多個不同的θ(x)使f(x)=f(0)+x f'(xθ(x))成立
假設其中兩個為θ1(x),θ2(x)滿足θ1(x)<θ2(x),則由拉格朗日中值定理,有
f'(xθ1(x))-f'(xθ2(x))=(xθ1(x)-xθ2(x))f''(η(x)),其中η(x)∈(xθ1(x),xθ2(x))(x>0)[(xθ2(x),xθ1(x))(x<0)]
又f'(xθ(x))=(f(x)-f(0))/x,所以說f'(xθ1(x))-f'(xθ2(x))=0,即(xθ1(x)-xθ2(x))f''(η(x))=0
因為有θ1(x)<θ2(x),x≠0,所以只能f''(η(x))=0
但題設條件有f"(x)不等于0,矛盾,所以說不存在多個不同的θ(x)滿足條件,唯一性獲證