theta即θ;
當(dāng)θ=0,中心在原點(diǎn)時(shí),橢圓的方程為
X^2 / a^2 + Y^2 / b^2 = 1;
用復(fù)數(shù)Z= X + i•Y 表示該橢圓,若對(duì)橢圓旋轉(zhuǎn)θ角,則橢圓上每一個(gè)點(diǎn)都乘以單位復(fù)數(shù)I=cosθ+i•sinθ 即可.
即:ZI=(X•cosθ - Y•sinθ)+ i•(Y•cosθ + X•sinθ);
再平移向量(X0,Y0),即再加上復(fù)數(shù)α=(X0,Y0)得
z=ZI+α
=(X•cosθ - Y•sinθ + x0)+ i•(Y•cosθ + X•sinθ + y0)
則最終的橢圓為{
x=X•cosθ - Y•sinθ + x0;
y=Y•cosθ + X•sinθ + y0;
→{
X•cosθ - Y•sinθ = x-x0;①
Y•cosθ + X•sinθ = y-y0;②
用x,y表示X,Y:
①·cosθ +②•sinθ得
X = x•cosθ + y•sinθ - x0•cosθ - y0•sinθ ;③
②·cosθ -①•sinθ得
Y = y•cosθ - x•sinθ - y0•cosθ + x0•sinθ ;④
③④代入方程 X^2 / a^2 + Y^2 / b^2 = 1 中得
（x•cosθ + y•sinθ - x0•cosθ - y0•sinθ）^2 / a^2 + (y•cosθ - x•sinθ - y0•cosθ + x0•sinθ）^2 / b^2 = 1 ;
整理得:
= (cos^2 θ / a^2 + sin^2 θ / b^2)•x^2
+ 2•sinθ•cosθ•( 1/a^2 + 1/b^2)• xy
+ (sin^2 θ / a^2 + cos^2 θ / b^2)•y^2
+ [(-2x0•cos^2 θ -2y0•sinθ•cosθ）/ a^2 - (2x0•sin^2 θ - 2y0•sinθ•cosθ）/ b^2]•x
+ [(-2x0•sinθ•cosθ -2y0•sin^2 θ）/ a^2 - (2x0•sinθ•cosθ - 2y0•cos^2 θ）/ b^2]•y
+ [(x0•cosθ + y0•sinθ）^2 / a^2 + (x0•sinθ - y0•cosθ）^2 / b^2 -1]
= 0 ;
則對(duì)應(yīng) A*x^2+B*x*y+C*y^2+D*x+E*y+F=0 可得
A =cos^2 θ / a^2 + sin^2 θ / b^2;
B =2•sinθ•cosθ•( 1/a^2 + 1/b^2);
C =sin^2 θ / a^2 + cos^2 θ / b^2;
D =(-2x0•cos^2 θ -2y0•sinθ•cosθ）/ a^2 - (2x0•sin^2 θ - 2y0•sinθ•cosθ）/ b^2 ;
E =(-2x0•sinθ•cosθ -2y0•sin^2 θ）/ a^2 - (2x0•sinθ•cosθ - 2y0•cos^2 θ）/ b^2 ;
F =(x0•cosθ + y0•sinθ）^2 / a^2 + (x0•sinθ - y0•cosθ）^2 / b^2 -1;
.