法一:換元法
三角變換/換元法/判別式法
f(θ)=（sinθ－1）／（cosθ－2）.
sinθ-1
=2sinθ/2 cosθ/2-sin^2 θ/2-cos^2 θ/2 .①
cosθ-2
=-(1-cosθ)-1
=-2sin^2 θ/2-sin^2 θ/2-cos^2 θ/2 .②
令t=tanθ/2,t∈R.
①÷②,并且分子,分母同時除以cos^2 θ/2,有
y=f(θ)=(-t^2+2t-1)/(-3t^2+1)
去分母
(1-3y)t^2-2t+1-y=0
△=4-4(1-3y)(1-y)≥0
解得
0≤y≤4/3.
∴f(θ)最大值=4/3,最小值=0.
溫馨提示：
也可以用萬能代換
設t=tanθ/2,
則sinθ=2t/(1+t^2),
cosθ=(1-t^2)/(1+t^2),
tanθ=2t/(1-t^2).
法二.幾何法
由斜率公式
把k=f(θ)=（sinθ－1）／（cosθ－2）看成單位圓上的動點P(cosθ,sinθ)與定點A(2,1)連線的斜率.
問題轉化為求k(AP)的最值.
由平面幾何知,
從點A向單位圓引兩條切線,其斜率為所求.
設切線方程
y-1=k(x-2)
到圓心(原點)距離為1,
解得
k=0或4/3.
∴f(θ)最大值=4/3,最小值=0.