極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),要學(xué)清楚.
設(shè)f:(a,+∞)→R是一個(gè)一元實(shí)值函數(shù),a∈R.如果對(duì)于任意給定的ε>0,存在正數(shù)X,使得對(duì)于適合不等式x>X的一切x,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式. 　　│f(x)-A│<ε , 　　則稱數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→+∞時(shí)的極限,記作 　　f(x)→A(x→+∞). 　　例y=1/x,x→+∞時(shí)極限為y=0 　　函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)最基本的概念之一,導(dǎo)數(shù)等概念都是在函數(shù)極限的定義上完成的. 　　極限符號(hào)可記為lim.
函數(shù)極限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,而運(yùn)用ε-δ定義更多的見諸于已知極限值的證明題中.掌握這類證明對(duì)初學(xué)者深刻理解運(yùn)用極限定義大有裨益.以x→Xo 的極限為例,f(x) 在點(diǎn)Xo 以A為極限的定義是： 對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么?。?總存在正數(shù)δ ,使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-x.|<δ 時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式： |f(x)-A|<ε ,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng) x→x.時(shí)的極限. 　　問題的關(guān)鍵在于找到符合定義要求的 ,在這一過程中會(huì)用到一些不等式技巧,例如放縮法等.1999年的研究生考試試題中,更是直接考察了考生對(duì)定義的掌握情況.詳見附例1. 　　函數(shù)極限性質(zhì)的合理運(yùn)用.常用的函數(shù)極限的性質(zhì)有函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的極限等等.如函數(shù)極限的唯一性（若極限 存在,則在該點(diǎn)的極限是唯一的）
有些函數(shù)的極限很難或難以直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則求得,需要先判定.下面介紹幾個(gè)常用的判定數(shù)列極限的定理. 　　1.夾逼定理：（1）當(dāng)x∈U(Xo,r)(這是Xo的去心鄰域,有個(gè)符號(hào)打不出）時(shí),有g(shù)（x)≤f(x)≤h(x)成立 　　（2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么,f(x)極限存在,且等于A 　　不但能證明極限存在,還可以求極限,主要用放縮法. 　　2.單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)增加（減少）有上（下)界的數(shù)列必定收斂. 　　在運(yùn)用以上兩條去求函數(shù)的極限時(shí)尤需注意以下關(guān)鍵之點(diǎn).一是先要用單調(diào)有界定理證明收斂,然后再求極限值.二是應(yīng)用夾擠定理的關(guān)鍵是找到極限值相同的函數(shù) ,并且要滿足極限是趨于同一方向 ,從而證明或求得函數(shù) 的極限值. 　　3.柯西準(zhǔn)則 　　數(shù)列收斂的充分必要條件是任給ε>0,存在N(ε),使得當(dāng)n>N,m>N時(shí),都有|am-an|<ε成立.