在高中數(shù)學(xué)教材中,有很多已知等差數(shù)列的首項(xiàng)、公比或公差(或者通過(guò)計(jì)算可以求出數(shù)列的首項(xiàng),公比),來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.但實(shí)際上有些數(shù)列并不是等差、等比數(shù)列,給出數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式,要求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.而這些題目往往可以用構(gòu)造法,根據(jù)遞推公式構(gòu)造出一個(gè)新數(shù)列,從而間接地求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式.對(duì)于不同的遞推公式,我們當(dāng)然可以采用不同的方法構(gòu)造不同的類(lèi)型的新數(shù)列.下面給出幾種我們常見(jiàn)的構(gòu)造新數(shù)列的方法：一．利用倒數(shù)關(guān)系構(gòu)造數(shù)列.例如：中,若求a n +4,即＝４,｝是等差數(shù)列.可以通過(guò)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出 ,然再求后數(shù)列{ a n }的通項(xiàng).練習(xí)：1)數(shù)列{ a n }中,a n ≠0,且滿足 求a n 2)數(shù)列{ a n }中,求a n 通項(xiàng)公式.3)數(shù)列{ a n }中,求a n .二．構(gòu)造形如 的數(shù)列.例：正數(shù)數(shù)列{ a n }中,若 設(shè) 練習(xí)：已知正數(shù)數(shù)列{ a n }中,,求數(shù)列{ a n }的通項(xiàng)公式.三．構(gòu)造形如 的數(shù)列.例：正數(shù)數(shù)列{ a n }中,若a 1 =10,且求a n .由題意得：,即 .即 練習(xí)：（選自2002年高考上海卷） 數(shù)列{ a n }中,若a 1 =3,,n是正整數(shù),求數(shù)列{ a n }的通項(xiàng)公式.四．構(gòu)造形如 的數(shù)列.例：數(shù)列{ a n }中,若a 1 =6,a n+1 =2a n +1,求數(shù)列{ a n }的通項(xiàng)公式.a n+1 +1=2a n +2,即a n+1 +1=2（a n +1） 設(shè)b n = a n +1,則b n = 2 b n-1 則數(shù)列{ b n }是等比數(shù)列,公比是2,首項(xiàng)b １ = a １ +1＝7,,構(gòu)造此種數(shù)列,往往它的遞推公式形如：.如：a n+1 ＝c a n +d,設(shè)可化成a n+1 +x=c(a n +x),a n+1 =c a n +(c-1)x 用待定系數(shù)法得：(c-1)x＝d ∴ x= .又如：Ｓ n +a n =n+2,則Ｓ n-1 +a n-1 =n+1,二式相減得：Ｓ n －Ｓ n-1 +a n －a n-1 =１,即a n +a n －a n-1 =１,∴ 2 a n －a n-1 =１,a n = a n-1 + .如上提到b n = a n ＋ d = a n –1 練習(xí)：1.數(shù)列{ a n }滿足a n+1 =3a n +2,求a n 2.數(shù)列{ a n }滿足Ｓ n +a n =2n+1,求a n 五．構(gòu)造形如 的數(shù)列.例：數(shù)列{ a n }中,若a 1 =１,a ２ =3,a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0 (n N),求a n .a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0得：a n+2 － a n+1 = - 5（a n ＋１ － a n ） 設(shè)b n = a n ＋１ －a n ,則數(shù)列{ b n }是等比數(shù)列,公比是-5,首項(xiàng)b １ = a 2 - a 1 ＝2,∴a n ＋１ －a n =2(-5) n-1 即a ２ －a １ =2(-5) a ３ －a ２ =2(-5) ２ a ４ －a ３ =2(-5) ３ ┄ a n －a n －１ =2(-5) n-2 以上各式相加得：a n －a １ =2［（-5）＋(-5) ２ ＋(-5) ３ ＋┄＋（-5） n-1 ］ 即：a n －a １ =2 ,即,（n 當(dāng)遞推公式中,a n ＋１ 與a n 的系數(shù)相同時(shí),我們可構(gòu)造b n = a n ＋１ －a n ,然后用疊加法得：b 1 +b 2 +b 3 +b 4 +┄+b n = a n -a 1 通過(guò)求出數(shù)列｛b n ｝前n-1項(xiàng)和的方法,求出數(shù)列{ a n }的通項(xiàng)公式.1) 當(dāng)遞推公式中形如:a n+1 =a n +an+b ; a n+1 =a n +q n (q≠1) ; a n+1 =a n +q n +an+b 等情形時(shí),可以構(gòu)造b n = a n ＋１ －a n ,得:b n = an+b； b n = q n ; b n =q n +an+b.求出數(shù)列前n-1項(xiàng)的和T n-1 ,T n-1 = ; T n-1 =； T n-1 = + 即：a n －a １ = ; a n －a １ = ; a n －a １ = + 從而求出 a n =a １ + ; a n = a １ + ; a n =a １ + + .2）當(dāng)遞推公式中形如:a n+1 =a n +；a n+1 =a n +；a n+1 =a n + 等情形 可以構(gòu)造b n = a n ＋１ －a n ,得:：b n =；b n =；b n = 即b n =；b n =；b n = 從而求出求出數(shù)列前n-1項(xiàng)的和T n-1 ,T n-1 =；T n-1 =；T n-1 = 即：a n －a １ = ; a n －a １ = ; a n －a １ = 從而求出 a n =a １ + ; a n = a １ + ; a n =a １ + 練習(xí)：1）數(shù)列{ a n }中,若a 1 =1,a n+1 -a n =2n,求通項(xiàng)a n.2）數(shù)列{ a n }中,若a 1 =1,a n+1 -a n =2 n ,求通項(xiàng)a n.3) 數(shù)列{ a n }中,若a 1 =2,,求通項(xiàng)a n.六．構(gòu)造形如 的形式.例：數(shù)列{ a n }中,若a 1 =1,,求a n.由得：∴,… 用累乘法把以上各式相乘得：∴.當(dāng)遞推公式形如：；； 等形式,我們可以構(gòu)造 .可得:; ; .然后用疊乘法得：.令數(shù)列{b n }的前n-1項(xiàng)的積為A n-1 ,則 ； ; 從而得到：；； ；；.練習(xí)：1）數(shù)列{ a n }中,若a 1 =2,,求a n.七．構(gòu)造形如 的形式.例：數(shù)列{ a n }中,a 1 =2,S n =4a n-1 +1,求a n.S n =4a n-1 +1,S n-1 =4a n-2 +1 二式相減：S n -S n-1 =4a n-1 -4a n-2 a n =4a n-1 -4a n-2 a n -2a n-1 =2（a n-1 -a n-2 ） 設(shè)b n =a n+1 -2a n ,當(dāng)遞推公式形如 S n+1 =4a n +2;a n+2 =pa n+1 +qa n (p+q=1) 等形式時(shí),因a n -2a n+1 =2(a n+1 -2a n );a n+2 -a n+1 =(p-1)(a n+1 -a n ),我們構(gòu)造b n =a n+1 -2a n ; b n =a n+1 -a n ,由等比數(shù)列知識(shí)得b n =(a 2 -a 1 )·2 n-1 ; b n =(a 2 -a 1 )·(p-1) n-1 從而得到a n+1 =2a n +(a 2 -a 1 )2 n-1 ;a n+1 =a n (a 2 -a 1 )(1-q) n-1 由類(lèi)型四求出a n .總之,對(duì)于很多數(shù)列,我們都可以由遞推公式構(gòu)造新數(shù)列的方法求出他們的通項(xiàng)公式.當(dāng)然,在教學(xué)中我們應(yīng)當(dāng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力,讓學(xué)生自己去構(gòu)造,自己去探索,使學(xué)生親嘗到成功樂(lè)趣,激起他們強(qiáng)烈的求知欲和創(chuàng)造欲.