條件不足,不能確定f(x) (而且自由度很大).
由2f(x²)+f(1/x²) = f(x),有2f(1/x²)+f(x²) = f(1/x).
相加得3(f(x²)+f(1/x²)) = f(x)+f(1/x).
相減得f(x²)-f(1/x²) = f(x)-f(1/x).
設(shè)g(x) = f(e^x)+f(1/e^x),則易見g(-x) = g(x) (即g是一個(gè)偶函數(shù)),
且3g(2x) = 3(f(e^(2x))+f(1/e^(2x))) = f(e^x)+f(1/e^x) = g(x).
再設(shè)h(x) = f(e^x)-f(1/e^x),則易見h(-x) = -h(x) (即h是一個(gè)奇函數(shù)),
且h(2x) = f(e^(2x))-f(1/e^(2x)) = f(e^x)-f(1/e^x) = h(x).
下面說明,任意選定滿足3g(2x) = g(x)的偶函數(shù)g,以及滿足h(2x) = h(x)的奇函數(shù)h,
取f(x) = g(ln(|x|))+h(ln(|x|)),則f(x)滿足要求.
f(x²) = g(ln(x²))+h(ln(x²)) = g(2ln(|x|))+h(2ln(|x|)) = 1/3·g(ln(|x|))+h(ln(|x|)),
f(1/x²) = g(-ln(x²))+h(-ln(x²)) = g(2ln(|x|))-h(2ln(|x|)) = 1/3·g(ln(|x|))-h(ln(|x|)),
故2f(x²)+f(1/x²) = g(ln(|x|))+h(ln(|x|)) = f(x),對(duì)任意x ≠ 0成立.
然而滿足上述條件的g,h是非常多的.
因?yàn)樵赼處的取值只能決定在±a·2^k處(k為任意整數(shù))的取值.
只要b不在這些數(shù)當(dāng)中,在b處的取值就可以完全獨(dú)立于a處的取值來選定.
此后被決定的只有±a·2^k,±b·2^k處的取值,其余的函數(shù)值仍可以隨意選定.
雖然這種逐次選擇的做法不太嚴(yán)格,但應(yīng)該可以充分體現(xiàn)g,h自由度很大這個(gè)事實(shí).
隨便舉一族例子:g(x) = |x|^(ln(3)/ln(2))·p(ln(|x|)),其中p為任意以ln(2)為周期的周期函數(shù).后面看不懂了，但是還要謝謝你的詳細(xì)解答不好意思，題目我記錯(cuò)了，等號(hào)右邊是x，已經(jīng)解出來了，就用你的方法，謝謝！不用謝.確實(shí), 如果是2f(x²)+f(1/x²) = x就能解了.另外, 條件應(yīng)該有x > 0的限制吧, 定義域可別忽視.對(duì)，結(jié)果有根號(hào)X，您說得太對(duì)了