在圓中,直徑是最長的弦,所以最長的是過op的直徑
垂直于op的弦是最短的,可以簡單的證明一下：
任作一條過p的弦CD,設(shè)AB是過p點且垂直于op的弦
由相交弦定理,CP*DP=AP*BP=定值
由均值不等式,4*CP*DP=2倍根號項CP*DP,當(dāng)且僅當(dāng)cp=dp時取等號
cp+dp就是過p點的弦長,所以 弦長>=2倍根號項CP*DP
當(dāng)且僅當(dāng)cp=dp時取得最小值,此時CD與AB重合,所以AB就是最短弦
如果你還沒上高中,沒學(xué)過均值不等式,也可以觀察圖形的變化.
弦長的一半 (d/2)^2=(r/2)^2-(弦心距)^2
圓的半徑是定值,所以當(dāng)弦心距最大時,d有最小值
很明顯,當(dāng)弦與op垂直時,弦心距最大；當(dāng)弦與op重合時弦心距最?。?）
所以,弦與op垂直時,最短；弦與op重合時最長