一、定義法
直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法,這種方法適應于已知數(shù)列類型的題目．
例1．等差數(shù)列 是遞增數(shù)列,前n項和為 ,且 成等比數(shù)列, ．求數(shù)列 的通項公式
設數(shù)列 公差為
∵ 成等比數(shù)列,∴ ,
即 ,得
∵ ,∴ ……………………①
∵
∴ …………②
由①②得： ,
∴
點評：利用定義法求數(shù)列通項時要注意不用錯定義,設法求出首項與公差（公比）后再寫出通項.
二、累加法
求形如an-an-1=f(n)（f(n)為等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列）的數(shù)列通項,可用累加法,即令n=2,3,…n—1得到n—1個式子累加求得通項.
例2．已知數(shù)列{an}中,a1=1,對任意自然數(shù)n都有 ,求 ．
由已知得 ,
,……,
, ,
以上式子累加,利用 得 - =
= ,
點評：累加法是反復利用遞推關系得到n—1個式子累加求出通項,這種方法最終轉(zhuǎn)化為求{f(n)}的前n—1項的和,要注意求和的技巧．
三、迭代法
求形如 (其中 為常數(shù)) 的數(shù)列通項,可反復利用遞推關系迭代求出.
例3．已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1 = +1,求 ．
an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32an-2+3 1+1=…=3n-1a1+3n-2 1+3n-3 1+…+3 1+1=
點評：因為運用迭代法解題時,一般數(shù)據(jù)繁多,迭代時要小心計算,應避免計算錯誤,導致走進死胡同．
四、公式法
若已知數(shù)列的前 項和 與 的關系,求數(shù)列 的通項 可用公式 求解.
例4．已知數(shù)列 的前 項和 滿足 ．求數(shù)列 的通項公式；
由
當 時,有
……,
經(jīng)驗證 也滿足上式,所以
點評：利用公式 求解時,要注意對n分類討論,但若能合寫時一定要合并．
五、累乘法
對形如 的數(shù)列的通項,可用累乘法,即令n=2,3,…n—1得到n—1個式子累乘求得通項.
例5．已知數(shù)列 中, ,前 項和 與 的關系是 ,求通項公式 ．
由 得
兩式相減得： ,
,
將上面n—1個等式相乘得：
點評：累乘法是反復利用遞推關系得到n—1個式子累乘求出通項,這種方法最終轉(zhuǎn)化為求{f(n)}的前n—1項的積,要注意求積的技巧．
六、分n奇偶討論法
在有些數(shù)列問題中,有時要對n的奇偶性進行分類討論以方便問題的處理.
例6．已知數(shù)列{an}中,a1=1且anan+1=2 ,求通項公式．
由anan+1=2 及an+1an+2=2 ,兩式相除,得 = ,則a1,a3,a5,…a2n-1,…和a2,a4,a6,…a2n,…都是公比為 的等比數(shù)列,又a1=1,a2= ,則：（1）當n為奇數(shù)時, ；（2）當n為偶數(shù)時, ．綜合得
點評：對n的奇偶性進行分類討論的另一種情形是題目中含有 時,分n為奇偶即可自然引出討論．分類討論相當于增加條件,變不定為確定．注意最后能合寫時一定要合并.這是近年高考的新熱點,如05年高考江西卷文科第21題．
七、化歸法
想方設法將非常規(guī)問題化為我們熟悉的數(shù)列問題來求通項公式的方法即為化歸法．同時,這也是我們在解決任何數(shù)學問題所必須具備的一種思想.
例7．已知數(shù)列 滿足
求an
當
兩邊同除以 ,
即 成立,
∴ 首項為5,公差為4的等差數(shù)列．
點評：本題借助 為等差數(shù)列得到了 的通項公式,是典型的化歸法．常用的化歸還有取對數(shù)化歸,待定系數(shù)化歸等,一般化歸為等比數(shù)列或等差數(shù)列的問題,是高考中的常見方法．
八、“歸納—猜想—證明”法
直接求解或變形都比較困難時,先求出數(shù)列的前面幾項,猜測出通項,然后用數(shù)學歸納法證明的方法就是“歸納—猜想—證明”法．
例8．若數(shù)列 滿足： 計算a2,a3,a4的值,由此歸納出an的公式,并證明你的結(jié)論．
∵a2=2 a1+3×2°=2×1+3×2°,
a3=2（2×1+3×2°）+3×21=22×1+2×3×21,
a4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22；
猜想an=2n－1+（n－1）×3×2n－2=2n－2（3n－1）；
用數(shù)學歸納法證明：
1°當n=1時,a1=2－1×=1,結(jié)論正確；
2°假設n=k時,ak=2k－2（3k－1）正確,
∴當n=k+1時,
= 結(jié)論正確；
由1°、2°知對n∈N*有
點評：利用“歸納—猜想—證明”法時要小心猜測,切莫猜錯,否則前功盡棄；用數(shù)學歸納法證明時要注意格式完整,一定要使用歸納假設．
九、待定系數(shù)法（構(gòu)造法）
求遞推式如 （p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項,可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)列求解,相當如換元法.
例9．已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1 = +2,求 ．
設 ,則 ,
, 為等比數(shù)列,
,
點評：求遞推式形如 （p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項,可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列an+1+ =p(an+ )來求得,也可用“歸納—猜想—證明”法來求,這也是近年高考考得很多的一種題型．
例10．已知數(shù)列 滿足 求an．
將 兩邊同除 ,得 ,變形為 ．
設 ,則 ．令 ,
得 ．條件可化成 ,
數(shù)列 為首項, 為公差的等比數(shù)列．
．因 ,所以 =
得 = ．
點評：遞推式為 （p、q為常數(shù)）時,可同除 ,得 ,令 從而化歸為 （p、q為常數(shù)）型．
例11．已知數(shù)列 滿足 求an．
設
展開后,得 ．
由 ,解得 ,
條件可以化為
得數(shù)列 為首項, 為公差的等比數(shù)列, ．問題轉(zhuǎn)化為利用累加法求數(shù)列的通項的問題,解得 ．
點評：遞推式為 （p、q為常數(shù)）時,可以設 ,其待定常數(shù)s、t由 求出,從而化歸為上述已知題型．