用夾逼定理：
(6^n)^(1/n) ≤ (2^n+3^n+4^n+5^n+6^n)^(1/n) ≤ [ 5倍的(6^n) ]^(1/n)
三邊同時取極限,第一項(無論是否取極限)永遠(yuǎn)恒等于6,中間就是要求的極限,
右邊不取極限時,等于 6×[5^(1/n)] ,取極限后,也是6.（原因是,任何一個大于0的常數(shù),開n次方,n → +∞ 時,都等于1）
所以原極限＝6.
用重要極限：
設(shè) y＝(2^n+3^n+4^n+5^n+6^n)^(1/n) ,
兩邊取對數(shù),得 lny ＝ [ln (2^n+3^n+4^n+5^n+6^n) ] / n
用 x 替換 上面表達(dá)式的 n ,則 n → +∞ 就等價于 x→ +∞
于是 lny ＝ [ln (2^x+3^x+4^x+5^x+6^x) ] / x ,右邊是無窮大 除以無窮大,
用一次洛比達(dá)法則,分子分母同時求導(dǎo)(極限符號我就不帶了,這上面不好打出來),得
lny ＝ (2^x ·ln2) + (3^x·ln3) + (4^x·ln4) + (5^x·ln5) + (6^x·ln6) ] / (2^x+3^x+4^x+5^x+6^x)
對右邊的分式,上下同除以 6^x ,再取極限,
則右邊的分子就是(0 ·ln2) + (0·ln3) + (0·ln4) + (0·ln5) + (1·ln6) ＝ln6
右邊的分母就是 (0+0+0+0+1)
所以,右邊的結(jié)果就是 ln6,而左邊一直是 lny,所以 lny＝ln6,所以原極限等于6