解:(1)證明:因?yàn)镃D⊥AB, ∠ABC=45°,
所以△BCD是等腰直角三角形.
所以BD=CD.
在Rt△DFB和Rt△DAC中,
因?yàn)椤螪BF=90°-∠BFD, ∠DCA=90°-∠EFC,
又∠BFD=∠EFC,
所以∠DBF=∠DCA.
又因?yàn)椤螧DF=∠CDA=90°,BD=CD,.
所以Rt△DFB≌Rt△DAC.
所以BF=AC.
(2)證明:在Rt△BEA和Rt△BEC中,
因?yàn)锽E平分∠ABC,
所以∠ABE=∠CBE.
又因?yàn)锽E=BE, ∠BEA=∠BEC=90°,
所以Rt△BEA≌Rt△BEC.
所以CE=AE=AC.
又由(1),知BF=AC,
所以CE=AC=BF.
(3)CE＜BG.證明:連接CG,
因?yàn)椤鰾CD是等腰直角三角形,
所以BD=CD,
又H是BC邊的中點(diǎn),
所以DH垂直平分BC.
所以BG=CG,
在Rt△CEG中,
因?yàn)镃G是斜邊,CE是直角邊,
所以CE＜CG,即CE＜BG.