（1）證明：過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由題意知，
在Rt△OEB和Rt△OFC中

OB=OC OE=OF

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）證明：過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由題意知，OE=OF．∠BEO=∠CFO=90°，
∵在Rt△OEB和Rt△OFC中

OB=OC OE=OF

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠OBE=∠OCF，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（3）不一定成立，當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時AB=AC，否則AB≠AC．（如示例圖）