設(shè)點(diǎn)M是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線上任意一點(diǎn),焦距|F1F2|=2c,| |MF1| - |MF2| | =2a,其中c>a>0
那么焦點(diǎn)坐標(biāo)為下焦點(diǎn)F1(0,-c),上焦點(diǎn)F2(0,c)
所以有：|MF1|=根號(hào)[x²+(y+c)²] ,|MF2|=根號(hào)[x²+(y-c)²]
則由 |MF1| - |MF2| =±2a可得：
根號(hào)[x²+(y+c)²] - 根號(hào)[x²+(y-c)²]=±2a
移項(xiàng)得：根號(hào)[x²+(y+c)²] =±2a+根號(hào)[x²+(y-c)²]
兩邊平方得：
{根號(hào)[x²+(y+c)²]}² ={±2a+根號(hào)[x²+(y-c)²]}²
x²+(y+c)²=4a² ± 4a根號(hào)[x²+(y-c)²] + x²+(y-c)²
4cy=4a² ± 4a根號(hào)[x²+(y-c)²]
cy-a²=± a根號(hào)[x²+(y-c)²]
再次兩邊平方得：
c²y²-2cya²+a的4次冪=a²[x²+(y-c)²]
c²y²-2cya²+a的4次冪=a²x²+a²y²-2cya²c+a²c²
(c²-a²)y²-a²x²=a²c²-a的4次冪
即(c²-a²)y²-a²x²=a²(c²-a²)(*)
由于c>a>0,所以不妨令c²-a²=b²,b>0
上述(*)式可化為：b²y²-a²x²=a²b²
則可得：y²/a² -x²/b²=1
這就是所求的焦點(diǎn)在y軸的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.