都是等邊三角形.證明如下：
第一個(gè)問(wèn)題：
△ABC中,AB＝AC,D、E分別是BC、AC的中點(diǎn),且AD＝BE,求證：△ABC是等邊三角形.
令A(yù)D與BE的交點(diǎn)為O,延長(zhǎng)CO交AC于G.
∵O是△ABC的重心,∴AO＝（2/3）AD,BO＝（2/3）BE,又AD＝BE,∴AO＝BO,
∴點(diǎn)O在AB的垂直平分線上,顯然有：AF＝BF,∴CF⊥AB,
∴點(diǎn)C在AB的垂直平分線上,∴AC＝BC,又AB＝AC,∴AB＝AC＝BC,
即△ABC是等邊三角形.
第二個(gè)問(wèn)題：
△ABC中,AB＝AC,AD、BE是角平分線,且AD＝BE,求證：△ABC是等邊三角形.
下面利用反證法證明：
假設(shè)∠CAB、∠ABC不相等,不失一般性地假設(shè)∠CAB＞∠ABC.
令A(yù)D與BE交于點(diǎn)O.
∵∠CAD＝∠CAB/2,∠CBE＝∠ABC/2,∴∠CAD＞∠CBE.
這樣就一定能在OE上找到一點(diǎn)F,使∠CBE＝∠DAF,∴A、B、D、F共圓.
考慮到∠BAD＝∠CAB/2,∠ABE＝∠ABC/2,結(jié)合假設(shè)的∠CAB＞∠ABC,
得：∠BAD＞∠ABE,再結(jié)合作出的∠CBE＝∠DAF,得：∠BAD＋∠DAF＞∠ABE＋∠CBE,
即：∠BAF＞∠ABD,而由證得的A、B、D、F共圓,得：BF＞AD.
顯然,BE＞BF,∴BE＞AD,但AD＝BE,∴假設(shè)的∠CAB、∠ABC不等是錯(cuò)誤的.
∴只能是∠CAB＝∠ABC,得：BC＝AC,又已知AB＝AC,∴△ABC是等邊三角形.