I=積分:e^(ax)sin(bx)dx(分部積分法)
=1/a積分:sin(bx)d(e^(ax))
=1/a*sin(bx)*e^(ax)-1/a積分:e^(ax)d(sinbx)
=e^(ax)sin(bx)/a-b/a積分:e^(ax)cos(bx)dx
=e^(ax)sin(bx)/a-b/a^2*積分:cos(bx)d(e^(ax))
=e^(ax)sin(bx)/a-b/a^2*e^(ax)cos(bx)+b/a^2積分:e^(ax)d(cos(bx))
=e^(ax)sin(bx)/a-b/a^2*e^(ax)cos(bx)+b^2/a^2積分:e^(ax)sin(bx)dx
移項得到:
(1-b^2/a^2)I
=e^(ax)sin(bx)/a-b/a^2*e^(ax)cos(bx)
=[ae^(ax)sin(bx)-be^(ax)cos(bx)]/a^2
I=[ae^(ax)sin(bx)-be^(ax)cos(bx)]/(1-b^2)
或者你也可以令
I1=積分:e^(ax)sin(bx)dx
I2=積分:e^(ax)cos(bx)dx
稱為對稱積分:
建立I1,I2之間的關(guān)系,解方程,得到I1