由于只有一階偏微分,所以作線性變量代換
α=x+y（這是因為等號的右邊含有x+y）
β=ax+by
由鏈式法則可知
∂u/∂x=∂u/∂α+a∂u/∂β
∂u/∂y=∂u/∂α+b∂u/∂β
代入原方程得
3∂u/∂α+(a+2b)∂u/∂β-4u=e^(x+y),這里將u看成關(guān)于α,β的函數(shù)
不妨取a=2,b=-1
那么α=x+y,β=2x-y
那么有3∂u/∂α-4u=e^α
這相當于關(guān)于α的一階線性常微分方程
解得u=-e^α+Ce^(4α/3),其中C為關(guān)于β=2x-y的函數(shù)f(2x-y)
即u=-e^(x+y)+e^[4(x+y)/3]f(2x-y)
將邊值條件代入得
f(-2-2x)=e^(-(2/3) - (5 x)/3)
因此f(x)=e^(1+(5x)/6)
代入u=-e^(x+y)+e^[4(x+y)/3]f(2x-y)得
u=e^(3x+y/2+1)-e^(x+y)你看這部分：那么有3∂u/∂α-4u=e^α(*)這相當于關(guān)于α的一階線性常微分方程。我這里把β當成了常量，或者說把u看成只關(guān)于α的函數(shù)。正式一點是v(α)=u(α,β)(*)就成為3v'-4v=e^α <-----這是一個常微分方程解是v=-e^α+Ce^(4α/3)，這時C是關(guān)于α常數(shù)，換句話說，C是關(guān)于β的函數(shù)