1:
因為:An,Bn^2,An+1成等差數(shù)列;
所以:An+1-An=2Bn^2;(1)
因為:Bn^2,An+1,Bn+1^2,成等比數(shù)列.
所以:(Bn+1^2)*(Bn^2)=(An+1)^2;
因為:An＞0,Bn＞0
所以:(Bn+1)*Bn=An+1;(2)
所以:Bn*Bn-1=An;(3);
將(2)(3)代入(1)得:
Bn(Bn+1-Bn-1)=2Bn^2;
所以:Bn+1-Bn-1=2Bn; Bn+1-Bn=Bn-Bn-1;
所以{Bn}是等差數(shù)列;命題得證;
2:
A2=3A1=3;得:A1=1;A2=3;代入(1)式得:
A2-A1=2B1^2;得B1=1;
將A2=3;B1=1代入(3)式得:
B2*B1=A2;得:B2=2;
由1所證{Bn}為等差數(shù)列,所以公差為B2-B1=1;
所以{Bn}的通項為Bn=n;
將Bn=n;Bn-1=n-1;代入(3)式得:
An=n*(n-1);
所以:lim (B1+B2+…Bn)/An=lim (1+2+3+...+n)/[n(n-1)]=lim1/2(n+1)/n-1)
=lim1/2+1/n-1=1/2;
l所以:im (B1+B2+…Bn)/An=1/2;