柯西、均值不等式的簡單問題- -已知a+b+c=1且abc都為正數(shù).求（a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值

柯西、均值不等式的簡單問題- -已知a+b+c=1且abc都為正數(shù).求（a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值
已知a+b+c=1且abc都為正數(shù).求（a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值
原式=a2+2+1/a2+b2+2+1/b2+c2+2+1/c2=(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)+6
基本不等式得(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)+6>=2根號下[(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)]+6
柯西不等式得(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)>=3^2=9
所以(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)+6>=2根號9+6=12
這么做為什么不對啊- -

數(shù)學(xué)人氣：510 ℃時間：2020-05-26 11:59:46

優(yōu)質(zhì)解答

問題在于兩次放縮的等號不能同時成立, 所以得到的下界不能取到, 不是最小值.
其中均值不等式取等需要a²+b²+c² = 1/a²+1/b²+1/c².
而Cauchy不等式取等需要a²:b²:c² = 1/a²:1/b²:1/c², 得a² = b² = c².
在a+b+c = 1且a, b, c > 0的條件下有a = b = c = 1/3.
此時均值不等式等號不能成立.
求最小值的問題最好驗證一下最小值能否取到.
我的方法是這樣.
由Cauchy不等式或冪平均不等式有a²+b²+c² ≥ (a+b+c)²/3 = 1/3.
同理1/a²+1/b²+1/c² ≥ (1/a+1/b+1/c)²/3.
而由Cauchy不等式有1/a+1/b+1/c = (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9.
于是1/a²+1/b²+1/c² ≥ 9²/3 = 27.
(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)² ≥ 1/3+27+6 = 100/3.
易見a = b = c = 1/3時等號成立, 故最小值為100/3.

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