設(shè)夾角a 線長l 拉力T 角速度w
T-mgCOSa=w^2*l (1)
mgSINa=-mdv/dt (2)
v=da/dt*l(3)
有2 3 式得
gSINa/l=-d^2a/dt^2
a很小時sin(a)=a
g*a/l+d^2a/dt^2=0 這是最簡單的常微分方程式
特征根是 A=(g/l) i w^2=g/l 所以解a=a0cos(wt+b)
周期T=2TT/w=2TT*(l/g)^1/2
嚴密的：gsin(a)/l=-d^2a/dt^2 開始不做近似
兩邊乘以da/dt 再積分（和證明能量守恒一樣）
(da/dt)^2=2g/l *COSa+C 當a=0時如果da/dt=w0 那么C=w0^2-2g/l (da/dt)^2=4g/l *(lw0^2/4g-SIN^2a/2)>=0
設(shè)lw0^2/4g=k^2 帶入 dt=+-1/2*(l/g)^1/2*da/(k^2-SIN^2a/2)^1/2
設(shè)SINa/2=ku 在帶入 dt=+-(l/g)^1/2*du/((1-u^2)(1-k^2u^2))^1/2
然后利用橢圓積分 得到
k<1 T=2TT(l/g)^1/2*(1+1/16*l/g*w0^2)
k>1 T=TT/k*(l/g)^1/2*無窮級數(shù)(（2n-1)!/(2n)!(1/k)^n)^2
TT是派