（1）∵拋物線L過（0,4）和（4,4）兩點,由拋物線的對稱性知對稱軸為x=2,
∴G（2,0）,
將（2,0）、（4,4）代入y=ax2+bx+4,
得 {4a+2b+4=016a+4b+4=4,
解得 {a=1b=-4,
∴拋物線L的解析式為y=x2-4x+4．
（2）∵直線 y=3x+3分別交x軸、y軸于B、A兩點,
∴A（0,3）,B（- 3,0）．
若拋物線L上存在滿足的點C,則AC∥BG,
∴C點縱坐標此為3,
設C（m,3）,
又∵C在拋物線L,代入解析式：（m-2）2=3,
∴m=2± 3．
當m=2+ 3時,BG=2+ 3,AG=2+ 3,
∴BG∥AG且BG=AG,
此時四邊形ABGC是平行四邊形,舍去m=2+ 3,
當m=2- 3時,BG=2- 3,AG=2- 3,
∴BG∥AG且BG≠AG,
此時四邊形ABGC是梯形．
故存在這樣的點C,使得四邊形ABGC是以BG為底邊的梯形,其坐標為：
C（2- 3,3）．
（3）假設拋物線L_1是存在的,且對應的函數(shù)關系式為y=（x-n）2,
∴頂點P（n,0）．
Rt△ABO中,AO=3,BO= 3,
可得∠ABO=60°,
又∵△ABD≌△ABP．
∴∠ABD=60°,BD=BP= 3+n．
如圖,過D作DN⊥x軸于N點,
Rt△BND中,BD= 3+n,∠DBN=60°,
∴DN= 32（ 3+n）,BN= 3+n2,
∴D（- 3- 3+n2,3+3n2）,
即D（ -33+n2,3+3n2）,
又∵D點在拋物線y=（x-n）2上,
∴ 3+3n2=（- 33+n2-n）2,
整理：9n2+16 3+21=0．
解得n=- 3,n=- 739,當n=- 3時,P與B重合,不能構成三角形,舍去,
∴當n=- 739時,此時拋物線為y=（x+ 739）2．