你是數(shù)學(xué)系的吧?我按照一個數(shù)學(xué)系的標(biāo)準(zhǔn)給你講下若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型是怎么來的,有什么用.最后再講你的問題.算是給你補補課...
若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型是和矩陣的相似密不可分的.
我們知道一種非常特殊的矩陣是可以進行矩陣的相似對角化的.例如實對稱矩陣.當(dāng)把矩陣相似對角化之后,第一對于解矩陣的行列式的值,跡的值,特征值,等等具有"相似不變性性質(zhì)"的東西都是很有幫助的.第二,例如我們要研究線性變換A的性質(zhì),我們知道它在不同的基底下的矩陣表示是不一樣的,而這種不同基底下的矩陣之間是相似關(guān)系,因此相似的另一個用途是:已知線性變換在某基底下的矩陣表示為A,A很"復(fù)雜",我們可以求他的簡單的相似矩陣B(比如發(fā)現(xiàn)A有相似對角形,相似上三角形或若當(dāng)型),那么就可以舍棄A而研究B,因為B也是那個線性變換在某個基下的表示.以上是從矩陣(代數(shù))和空間(幾何)兩個方面分析得到的相似這個概念的重要性.第三點,若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型常用來判斷兩個矩陣是否相似.如果兩個矩陣有相同的相似標(biāo)準(zhǔn)型(有理標(biāo)準(zhǔn)型,初等因子友陣型或若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型),那么兩個矩陣必相似.
我們看到了相似的重要概念,然后學(xué)過了任何實矩陣A都可正交相似上三角化,實對稱矩陣可以正交相似對角化(譜分解定理).我們知道對角化對角線上只有n個元素,上三角矩陣的元素個數(shù)太多.對一般矩陣我們要尋求一種簡單方便的標(biāo)準(zhǔn)型,容易進行各種運算例如冪運算.經(jīng)過數(shù)學(xué)家的不斷努力,終于得到了"若當(dāng)型"
若當(dāng)型對矩陣的冪運算,指數(shù)運算exp(A),秩的觀察等都有很好的效果,因此是一個有效的方便的標(biāo)準(zhǔn)型.
一大堆廢話后解釋他和特征值特征向量的關(guān)系:
第一,若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的對角線上n個元素一定是矩陣的n個特征值.
第二,若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型與特征向量無直接關(guān)系(但是,從構(gòu)造思路上有聯(lián)系~)
這兩個結(jié)論可以直接從書中若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的證明中看出來,不變因子組性質(zhì).
至于第二里邊的括號內(nèi)容"思路上與特征向量有關(guān)系",要用若當(dāng)型另一種證明方法才能看出來
書中的"不變因子"的方法,可以看成是代數(shù)學(xué)的方法,我們還可以用"幾何學(xué)"的方法來證明,就是空間分解的方法.
我們知道矩陣A可以看成是線性變換在線性空間V的一個矩陣表出,如果V的基底選的特殊一點,那么就會得到線性變換的另一種矩陣表出B,其中A,B相似.如果A有n個線性無關(guān)的特征向量,以此為V的基底,那么這個線性變換在此基下的表出B就是對角形.用代數(shù)寫出來就是P逆AP=B,B是對角陣對角線上是A的n個特征值.P是A的n個特征向量的排列.
可是對于一般矩陣A,不一定有n個線性無關(guān)的特征向量啊,(矩陣A代數(shù)重數(shù)大于幾何重數(shù)時)?換句話說,對于一般的矩陣A,不一定可以相似對角化啊!
數(shù)學(xué)家們引進了"特征多項式"和"最小多項式"的概念,用最小多項式的每個"素因子",找到了A在每個素因子下的"廣義特征向量",然后用廣義特征向量組成一組V的基底,就得到了A的相似矩陣.這種空間分解方法叫"準(zhǔn)素分解".這是若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型思維上唯一用到特征向量的地方.
若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型,是對空間V進行準(zhǔn)素分解再進行循環(huán)分解后得到的相似型.循環(huán)分解就不給你講了.