先將式子化簡一下
原式=lim根號下(1+sinx)[根號下(1+(tanx-sinx)/(1+sinx))-1]/[xln(1+x)-x²]
=lim[根號下(1+(tanx-sinx)/(1+sinx))-1]/[xln(1+x)-x²]
利用等價無窮小替換
(1+x)^(1/n)-1~x/n(x→0)
得
原式=lim(tanx-sinx)/2[xln(1+x)-x²]
=limsinx(1-cosx)/2[xln(1+x)-x²]
再利用等價無窮小替換
sinx~x
1-cosx~1/2x²
則原式=1/4limx²/[ln(x+1)-x]
利用洛必達(dá)法則可得
原式=1/4lim2x/[1/(x+1)-1]=-1/2