1.求導數 y=ln[(x-1)(x-2)/(x+3)(x+4)]
y=ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x+3)-ln(x+4)
故y′=1/(x-1)+1/(x-2)-1/(x+3)-1/(x-4)
2.設函數f(x)=ax+1,當x≦2； f(x)=x²+b,當x>2}；在x=2處可導,求常數a和b的值.
在x=2處可導,那么在x=2處必連續(xù),故有f(2)=2a+1=4+b,即有2a-b=3.(1)
在x=2處可導,則在x=2處的左導數必等于其右導數,故有f′(2)=a=4,代入(1)得b=5.
3.求導數 y=1+x/√(1-x)
y′=[√(1-x)+x/2√(1-x)]/(1-x)=(2-x)/[2(1-x)√(1-x)]
4.求極限x→0lim[(1/x)-1/ln(1+x)]
x→0lim[(1/x)-1/ln(1+x)]=x→0lim{[ln(1+x)-x]/[xln(1+x)]}
=x→0lim{[1/(1+x)-1]/[ln(1+x)+x/(1+x)]}
=x→0lim{(-x)/[(1+x)ln(1+x)+1]}=0
5求不定積分∫{1/[(cos²)x]}d(cos x)
原式=-1/cosx+C
6求不定積分∫sin²(x/2)dx
原式=∫[(1-cosx)/2]dx=(1/2)(x-sinx)+C
7.∫cos2x/(cosx-sinx)dx=∫[(cos²x-sin²x)/(cosx-sinx)]dx=∫(cosx+sinx)dx=sinx-cosx+C
8.∫(cotx/√sinx)dx=∫(cosx/sinx√sinx)dx=∫[(sinx)^(-3/2)]dsinx=-2/√sinx+C
9.∫dx/√(a²-x²)=∫d(x/a)/√[1-(x/a)²]=arcsin(x/a)+C
10.∫dx/(a²+x²)=∫d(x/a)/[1+(x/a)²]=arctan(x/a)+C
11.∫x²f(x³)f′(x³)dx=(1/3)∫f(x³)f′(x³)dx³==(1/3)∫f(x³)df′(x³)=(1/3)[f²(x³)]/2+C
12.∫tanx(tanx+1)dx=∫tan²xdx+∫tanxdx=∫[(1/cos²x)-1]dx-∫d(cosx)/cosx=tanx-x-ln︱cosx︱+C
13.∫[1/(1-x²)^(3/2]dx
令x=sinu,則dx=cosudu,于是原式=∫cosudu/cos³u=∫du/cos²u=tanu+C=x/√(1-x²)+C
14.∫[1/(x²+x-2)]dx=∫[1/(x+2)(x-1)]dx=(1/3)∫[1/(x-1)-1/(x+2)]dx=(1/3)[ln(x-1)-ln(x+2)]+C
=(1/3)ln[(x-1)/(x+2)]+C
15.∫(x²arctanx)/(1+x²)dx=∫x²d(arctanx)=x²arctanx-2∫xarctanxdx
令arctanx=u,則x=tanu,dx=du/cos²u,于是
-2∫xarctanxdx=-2∫(utanu/cos²u)du=-2∫(usinu/cos³u)du=-∫ud(1/cos²u)=-u/cos²u+∫du/cos²u
=-u/cos²u+tanu=-(1+x²)arctanx+x
故.∫(x²arctanx)/(1+x²)dx=x²arctanx-(1+x²)arctanx+x+C
16.設∫xf(x)dx=arcsinx+c,求∫[1/f(x)]dx
∵∫xf(x)dx=arcsinx+c,∴xf(x)=(arcsinx+C)′=1/√(1-x²),于是f(x)=1/x√(1-x²),
故∫[1/f(x)]dx=∫x√(1-x²)dx=-(1/2)∫[√(1-x²)]d(1-x²)=-√(1-x²)+C