拉普拉斯變換（英文：Laplace Transform),是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換.
如果定義：
f(t),是一個(gè)關(guān)于t,的函數(shù),使得當(dāng)t0,；
f(t)
= mathcal ^ left
=frac int_ ^ F(s),e^ ,ds
c,是收斂區(qū)間的橫坐標(biāo)值,是一個(gè)實(shí)常數(shù)且大于所有F(s),的個(gè)別點(diǎn)的實(shí)部值.
為簡化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換.對一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換,并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算,再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果,往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多.拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對于求解線性微分方程尤為有效,它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來處理,從而使計(jì)算簡化.在經(jīng)典控制理論中,對控制系統(tǒng)的分析和綜合,都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的.引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn),是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來描述系統(tǒng)的特性.這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性（見信號(hào)流程圖、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖）、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程（見奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法）,以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（見控制系統(tǒng)校正方法）提供了可能性.
用 f(t)表示實(shí)變量t的一個(gè)函數(shù),F(s)表示它的拉普拉斯變換,它是復(fù)變量s＝σ＋j&owega;的一個(gè)函數(shù),其中σ和&owega; 均為實(shí)變數(shù),j2＝-1.F(s)和f(t)間的關(guān)系由下面定義的積分所確定：
如果對于實(shí)部σ ＞σc的所有s值上述積分均存在,而對σ ≤σc時(shí)積分不存在,便稱 σc為f(t)的收斂系數(shù).對給定的實(shí)變量函數(shù) f(t),只有當(dāng)σc為有限值時(shí),其拉普拉斯變換F(s)才存在.習(xí)慣上,常稱F(s)為f(t)的象函數(shù),記為F(s)＝L[f(t)];稱f(t)為F(s)的原函數(shù),記為ft＝L-1[F(s)].
函數(shù)變換對和運(yùn)算變換性質(zhì) 利用定義積分,很容易建立起原函數(shù) f(t)和象函數(shù) F(s)間的變換對,以及f(t)在實(shí)數(shù)域內(nèi)的運(yùn)算與F(s)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的運(yùn)算間的對應(yīng)關(guān)系.表1和表2分別列出了最常用的一些函數(shù)變換對和運(yùn)算變換性質(zhì).