僅含有限多個(gè)元素的域.它首先由E.伽羅瓦所發(fā)現(xiàn),因而又稱(chēng)為伽羅瓦域.它和有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域比較,有著許多不同的性質(zhì).
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條件
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最簡(jiǎn)單的有限域是整數(shù)環(huán)Z 模一個(gè)素?cái)?shù)p得到的商環(huán)Z/(p),由p個(gè)元素0,1,…,p-1組成,按模p相加和相乘.
J.H.M.韋德伯恩于1905年證明了“有限除環(huán)必是乘法交換的”.因此,有限除環(huán)就是現(xiàn)在所說(shuō)的有限域.
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條件
集合F={a,b,…},對(duì)F的元素定義了兩種運(yùn)算：“+”和“*”,并滿足以下3個(gè)條件,
•F1：F的元素關(guān)于運(yùn)算“+”構(gòu)成交換群,設(shè)其單位元素為0.
•F2：F\{0}的元素關(guān)于運(yùn)算“*”構(gòu)成交換群.即F中元素排除元素0后,關(guān)于*法構(gòu)成交換群.
•F3：分配率成立,即對(duì)于任意元素
a,b,c∈F,
恒有
a*(b+c)=(b+c)*a=a*b+a*c
p是素?cái)?shù)時(shí),可證F{0,1,2,…,p-1},在modp意義下,關(guān)于求和運(yùn)算“+”,及乘積“*”,構(gòu)成了域.F域的元素?cái)?shù)目有限時(shí)稱(chēng)為有限域.