平面曲線曲率證明 K|dx/ds| = |d(dy/ds)/ds|
s是曲線y=f(x)上自A(a,f(a))到P(x,y)之間一段弧的長度,K為曲線在點P的曲率,證明如題!
∵︱ds/dx︱=︱√(1+y′²)︱,∴︱dx/ds︱=︱1/√(1+y′²)︱
k=︱y″/(1+y′²)^(3/2)︱
故k︱dx/ds︱=︱y″/(1+y′²)²︱.(1)
︱dy/ds︱=︱y′dx/ds︱=︱y′/√(1+y′²)︱
︱d(dy/ds)/ds|=︱{d[y′/√(1+y′²)]/dx}(dx/ds)︱=︱{[y″√(1+y′²)]-y′²y″/√(1+y′²)]/(1+y′²)}[1/√(1+y′²)]
=︱{[y″(1+y′²)-y′²y″]/(1+y′²)^(3/2)}[1/√(1+y′²)]=︱y″/(1+y′²)²︱.(2)
由(1)(2)可知：K|dx/ds| = |d(dy/ds)/ds|
平面曲線曲率證明 K|dx/ds| = |d(dy/ds)/ds|
平面曲線曲率證明 K|dx/ds| = |d(dy/ds)/ds|
s是曲線y=f(x)上自A(a,f(a))到P(x,y)之間一段弧的長度,K為曲線在點P的曲率,證明如題!求詳解
s是曲線y=f(x)上自A(a,f(a))到P(x,y)之間一段弧的長度,K為曲線在點P的曲率,證明如題!求詳解
數(shù)學人氣：607 ℃時間：2020-09-06 20:55:50
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