定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=An2,則稱數(shù)列{An}為平方遞推數(shù)列

定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=An2,則稱數(shù)列{An}為平方遞推數(shù)列
定義：若數(shù)列{An}滿足An＋1＝An2,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{an}中,a1＝2,且an＋1＝2an2＋2 an,其中n為正整數(shù)．
（1）設(shè)bn＝2an＋1,證明：數(shù)列{bn}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lgbn}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”{bn}的前n項(xiàng)之積為Tn,
即Tn＝（2a1＋1）（2a2＋1）…（2an＋1）,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)及Tn關(guān)于n的表達(dá)式；
（3）記cn＝log2an＋1Tn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)之和Sn,并求使Sn＞2008的n的最小值．

數(shù)學(xué)人氣：513 ℃時(shí)間：2019-10-19 21:06:02

優(yōu)質(zhì)解答

(1)bn+1=2a(n+1)+1=4an^2+4an+1=(2an+1）^2=bn^2,
lgb(n+1)=2lgbn,lgb(n+1)/lgbn=2,且lgb1=lg(2a1+1)=lg5
故數(shù)列{bn}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lgbn}為等比數(shù)列
（2）由（1）得,lgbn=lg5*2^(n-1),bn=5^[2^(n-1)],an=(bn-1)/2={5^[2^(n-1)]-1)}/2
lgTn=lgb1+lgb2+.+lgbn=lg5+lg5*2+.+lg5*2^(n-1)=lg5*(2^n-1)
Tn=5^(2^n-1)
(3)cn=log(bn)Tn=lgTn/lgbn=(2^n-1)/2^(n-1)=2-1/2^(n-1)
Sn=c1+c2+.+cn=2n-[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=2n-2+1/2^(n-1)
由Sn＞2008且Sn為增函數(shù),得S1004<2008,S1005>2008,故使Sn＞2008的n的最小值為1005

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