方法一：三角代換
∫√(4+x²) dx
令x=2tanu,則√(4+x²)=2secu,dx=2sec²udu
=∫2secu*2sec²u du
=4∫sec³u du
下面計算：
∫sec³u du
=∫secu d(tanu)
分部積分
=secutanu-∫tan²usecu du
=secutanu-∫(sec²u-1)secu du
=secutanu-∫sec³u du+∫secu du
=secutanu-∫sec³u du+ln|secu+tanu|
將-∫sec³u du移到左邊與左邊合并后,除以系數(shù)得：
∫sec³u du=(1/2)secutanu+(1/2)ln|secu+tanu|+C
換回變量
=(1/8)x√(4+x²)+(1/2)ln(√(4+x²)+x)+C
因此原式=4∫sec³u du=(1/2)x√(4+x²)+2ln(√(4+x²)+x)+C
方法二：分部積分
∫√(4+x²) dx
=x√(4+x²)-∫x²/√(4+x²) dx 注意：√(4+x²)求導(dǎo)為x/√(4+x²)
=x√(4+x²)-∫(x²+4-4)/√(4+x²) dx
=x√(4+x²)-∫√(4+x²) dx+4∫1/√(4+x²) dx
=x√(4+x²)-∫√(4+x²) dx+4ln(√(4+x²)+x)
將-∫√(4+x²) dx移到左邊與左邊合并,得：
∫√(4+x²) dx=(1/2)x√(4+x²)+2ln(√(4+x²)+x)+C