很嚴格的證明一時也想不出,姑且這樣證吧：
設(shè)四個邊按順時針分別是abcd
（1）在等周時面積最大的四邊形應(yīng)有以下性質(zhì)：a=b,c=d
證：假定面積最大的四邊形不滿足此條件,即a≠b,c≠d.用一個對角線把這個四邊形分成兩個三角形,a,b和c,d各在一個三角形中.利用海倫公式和均值不等式很容易證明,如果令a'=b',c'=d',則新的四邊形比原有的要大,與假設(shè)矛盾.這樣就證明了（1）
（2）利用（1）,容易證明面積最大的四邊形應(yīng)滿足a=b=c=d,或者說這個四邊形是一種菱形
證明法同1類似
（3）容易證明在滿足（2）的菱形中,有一個角是直角時面積最大,因此這個菱形是正方形.
綜上,周長相等的四邊形中,正方形面積最大.