這是一個(gè)等差數(shù)列x等比數(shù)列的形式.對于這一類數(shù)列求前n項(xiàng)和均用錯(cuò)位相減法求.
錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法,應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式.形如An=BnCn,其中Bn為等差數(shù)列,Cn為等比數(shù)列；分別列出Sn,再把所有式子同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比,即kSn；然后錯(cuò)一位,兩式相減即可.
此題解答如下：
首先找到通項(xiàng)式an=(3n-1)a^n 前面是等差數(shù)列這個(gè)好求,首項(xiàng)為2公差為3,故通項(xiàng)為3n-1
∴Sn=2a+5a²+8a³+11a^4+.+(3n-4)a^n-1+(3n-1)a^n ①(①式等號兩邊同時(shí)乘以a得下面②式)
aSn= 2a²+5a³+8a^4+.+(3n-4)a^n+(3n-1)a^n+1 ②
由①-②=(1-a)Sn=2a+3a²+3a³+3a^4+.+3a^n-(3n-1)a^n+1
這個(gè)式子中間是一個(gè)等比數(shù)列的前n-1項(xiàng)的和求得2a+3a²+3a³+3a^4+.+3a^n
=3a+3a²+3a³+3a^4+.+3a^n-a
=3a(1-a^n)/(1-a)-a
推出Sn=(a²+2a-3a^n+1)/(1-a)²-(3n-1)a^n+1/(1-a)