平面幾何證法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所對的邊為c,
∠B所對的邊為b,
∠A所對的邊為a 則有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c
根據(jù)勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可以看出,如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么第三邊所對的角一定是直角,如果小于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是鈍角,如果大于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是銳角.即,利用余弦定理,可以判斷三角形形狀.同時,還可以用余弦定理求三角形邊長取值范圍.