按分塊矩陣的乘法 A^-1[A,E] = [ A^-1 A,A^-1 E] = [ E,A^-1 ].(*)
教材中有這樣的結(jié)論:n階方陣A可逆的充分必要條件是A可以表示成有限個初等矩陣的乘積.
當A可逆時,其逆矩陣A^-1 也是可逆的.
所以A^-1可以表示成初等矩陣的乘積:A^-1 = P1P2...Ps.Pi是初等矩陣.
代入(*)式得
P1P2...Ps [A,E] = [ E,A^-1 ].
教材中有這樣的結(jié)論:初等矩陣左乘一個矩陣,相當于對此矩陣實施一次相應(yīng)的初等行變換.
所以 P1P2...Ps [A,E] = [ E,A^-1 ] 相當于 對[A,E] 實施一系列初等行變換,
當左邊子塊化成單位矩陣時,右邊子塊就是矩陣A的逆!