三個(gè)解法∶解法一：三角代換
設(shè)x=Rcost,y=Rsint,則x²+y²=R²
由已知x²+2xy-y²=7可得
R²【[cos²(2t)-sin²(2t)]+2sintcost】=7
R²【cos(2t)+sin(2t)】=7
R²·√2sin(2t+45°)=7
當(dāng)sin(2t+45°)取最大值1時(shí),x²+y²=R²有最小值(7/2)√2
注：asint+bcost=√(a²+b²) sin(t+γ) 【tanγ=b/a】
解法二：判別式法
設(shè)x²+y²=S,則x²+2xy-y²=7(x²+y²)/S
即 (S-7)x²+2Sxy-(S+7)y²=0
1）當(dāng)y=0時(shí),x²=7,x²+y²=S=7
2）當(dāng)y≠0時(shí),上式化為(S-7)(x/y)²+2S(x/y)-(S+7)=0 【兩邊同除以y²】
①S=7時(shí),x²=7/5,y²=28/5
②S≠7時(shí),△=4S²+4(S+7)(S-7)≥0
S²≥49/2,S≥(7/2)√2
所以x²+y²最小值(7/2)√2
解法三：利用待定系數(shù)法構(gòu)造均值不等式
對(duì)2xy放縮：
2xy=2·(kx)·(y/k)≤k²x²+(y²/k²)
∴x²+k²x²+(y²/k²)-y²≥x²+2xy-y²=7
即 (k²+1)x²+[(1/k²)-1]y²≥7
構(gòu)造 k²+1=(1/k²)-1,
即k²=√2-1時(shí)
有 √2x²+√2y²≥7
x²+y²≥(7/2)√2∴當(dāng)(√2-1)x=y/(√2-1)時(shí)取等號(hào)
∴x²+y²最小值(7/2)√2